గణిత బోధనా పద్ధతులు

---

---

→ మీరు చెప్పిన పద్ధతిలో నేను నేర్చుకోలేకపోతే, మరి నేను నేర్చుకొనే పద్ధతిలో మీరు చెప్పలేరా ? - ఎస్.ఎస్.ఎ.



బోధనా , అభ్యాసన ప్రక్రియలు :-

బోధన :-
→ సాధారణంగా బోధన అంటే ఎక్కువ జ్ఞానం, ఎక్కువ అనుభవం గల వ్యక్తి (ఉపాధ్యాయుడు) తనకంటే తక్కువ జ్ఞానం కలిగిన వ్యక్తికి (పిల్లలకు) సమాజంలో సర్దుబాటు చేసుకోవడానికి తగిన జ్ఞానాన్ని, నైపుణ్యాన్ని అందించడం - నేడు బోధన అనేది ఒక క్రమపద్ధతిలో, నిర్దిష్టమైన పరిసరాల్లో జరిగే విద్యా ప్రక్రియగా భావిస్తున్నాం

అభ్యసనం :-
→ అభ్యసనం అంటే అనుభవం ద్వారా లేదా అభ్యాసం ద్వారా లేదా శిక్షణ ద్వారా జరిగే ఆశించిన ప్రవర్తనా మార్పులు, ఈ మూర్పులు శాశ్వతమైనవి, అభివృద్ధి చెందేవి.

మానసిక వికాసం :-
→ ప్రజలు, ప్రత్యక్షజ్ఞానం లేదా విషయ దృక్కోణం, ఆలోచన, పరిశీలన, భావనలు, స్మృతి, ఊహ, వివేచన, నమస్కా పరిష్కారం అవధానం మొదలైన మానసిక సామర్థ్యాలు అభివృద్ధి చెందడమే మానసిక వికాసం.
→ మానసిక వికాసాన్ని, సంజ్ఞానాత్మక వికాసం లేదా బౌద్ధిక వికాసం అని కూడా అంటారు

పియాజె జ్ఞానాత్మక వికాసదశలు : -
→ జాన్ పియాజి (1896 - 1980) అనే మనస్తతత్వ శాస్త్రజ్ఞుడు స్విట్జర్లాండ్ దేశానికి చెందినవాడు. ఇతను 50 సంవత్సరాలపాటు పిల్లల సంజ్ఞానాత్మక వికాసం గురించి విస్తృతంగా పరిశోధన చేసి అది పిల్లల్లో నాలుగు దశల్లో ఉంటుందని ప్రతిపాదించాడు.

1)ఇంద్రియ చాలక దశ (0 -2 సం॥| )
2) మూర్త ప్రచాలక దశ - (7 -12 సం॥)
3) పూర్వ ప్రచాలక దశ (7 -12 సం॥|)
4) అమూర్త ప్రచాలక దశ - (12 సం॥ల పైన)



గణితంలో భావనల నిర్మాణం:-


ప్రాథమికోన్నత పాఠశాల స్థాయి వరకు పిల్లలు గణితంలో నేర్చుకొనే అంశాలు :-
1) గణిత భావనలు
2) గణిత పారిభాషిక పదాలు, సంకేతాలు, గుర్తులు
3) గణిత ప్రక్రియ
4) నిర్వచనాలు
5) సూత్రాలు
6) సిద్ధాంతాలు - నిరూపణలు
7) సమస్యలు - వాటి సాధన
8) గణిత రీతిలో ఆలోచింపజేయడం
9) తన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచాన్ని, గణిత జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి గణితీకరించడం.


భావన :-
→ సామాన్య లక్షణాలు కలిగిన ఒక ఉద్దీపనా తరగతిని భావన అని అంటారు
→ ఉదా : భిన్నం, వృత్తం; కిరణం: సరళరేఖలు మొదలైనవి




భావనలు ఏర్పడే విధానం :-
→ భావనలు ఎలా ఏర్పడతాయో చెప్పడం చాలా కష్టం. ఎందుకంటే ఒకే భావన వేరు వేరు నిద్యార్థులకు వేరు వేరు విధాలుగా ఏర్పడుతుంది.

---

---

భావన (Concept) :-
→ పలురకాల అభ్యసనంలో భావన అనేది ప్రాథమికాంశం. ఇది ఒక తరగతికి చెందిన వస్తువులు లేదా పరిస్థితులు లేదా సంఘటనలు లేదా అలోచనలో ఉండే సామాన్య లక్షణానికి సంబంధించింది. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే సామాన్య లక్షణాలు కలిగిన ఒక ఉద్దీపనా తరగతిని భావన అని అంటాం. ఉద్దీపన అనేది ఒక తరగతికి చెందిన వస్తువులు, సంఘటనలు వ్యక్తులు, గుణగణాలు, ఆలోచనలు ఇలా ఏవైనా కావచ్చు
ఉదా :- భిన్నం, వృత్తం. కిరణం, సరళ రేఖలు మొదలైనవి


భావన రకాలు :-

→ భావనలు ఒక వస్తువుపై లేదా సంఘటనపై ఎన్ని రకాలుగా ఉద్దీపనలు ప్రభావితం చేస్తాయో దాని ఆధారంగా భావనలను వర్గీకరిస్తారు

ఎ) సరళ భావనలు :-

→ ఏకైక ఉద్దీపన గుణం ఉన్న వస్తువులను లేదా సంఘటనలను సరళ భావనలంటారు.

ఉదా-1 :- 2 అనే సంఖ్యను రెండు వస్తువులతో జతపరచడం.
'3' అనే సంఖ్యను మూడు వస్తువులతో జతపరచడం.
ఇలా సంఖ్యలకు సంబంధించి భావనలేర్పడతాయి.

ఉదా-2 :- మూడు భుజాలు కలిగిన సంవృతపటం త్రిభుజం



బి) సంక్లిష్ట భావనలు :-

→ ఒకేసారి ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉద్దీపన గుణాలు కలిగిన వాటిని సంక్లిష్ట భావనలంటారు. ఇలాంటి భావనలను ఈ కింది విధంగా వర్గీకరించడం జరిగింది

1) సంయోజక భావనలు (Conjuctive Concepts)
2) వియోజక భావనలు (Disjuctive Concepts)
3) సంబంధిత భావనలు (Relational Concepts)



1) సంయోజక భావనలు:-

→ వీటిలో లక్షణాలు సంయుక్తంగా ఉంటాయి.
→ ఉదాహరణకు అర్ధకిలో భావనలో రెండు లక్షణాలను (ఉద్దీపనలను) గమనిస్తాం
1) అర్ధ / సగం అంటే భిన్నం
2) కిలో అంటే బరువుకి ప్రమాణం
→ ఈ రెండు లక్షణాలు సంయుక్తంగా ఆ ఆకారంపై ప్రతిబింబిస్తున్నాయి.
→ ఇలా ఒకటికంటే ఎక్కువ ఉద్దీపనలు సంయుక్తంగా ఒక వస్తువుపై గానీ లేదా సంఘటనపై గానీ ప్రతిబింబిస్తే అది సంయోజక భావన అవుతుంది


2) వియోజక భావనలు:-

→ దీనిలో ఒక గుణాన్ని మరొక గుణానికి ఐదులుగా అర్థం చేసుకొంటే అది వియోజక భావనవుతుంది
ఉదా :- 'రెండు చదరాలు లేదా రెండు వృత్తాలు' ఈ భావనలో రెండు అనే గుణం సామాన్యం, కాని 'ఆకారం' అనే గుణంలో తేడా ఉంది. ఇవి వియోజక గుణాలు, వియోజక సంబంధం కలిగి ఉన్న దానిపై వియోజక భావన ఆధారపడి ఉంటుంది
→ వాస్తవ సంఖ్యాసమితిలో అకరణీయ సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యను తీసుకొంటే అది ఆకరణీయ సంఖ్య కావాలి లేదా కరణీయ సంఖ్య కావాలి ఇవి నియోజక సంబంధం గల నంఖ్యలు. వీనిలో ఏదో ఒక సంఖ్యా రూపాన్ని పరిగణలోకి తీసుకొంటే అది వియోజక భావన అవుతుంది. ఇలాంటి భావనలు చాలా అరుదుగా, సంక్లిష్టంగా ఉంటాయి



3) సంబంధిత భావనలు :-
a) 10 ÷ 2 = 5 x 2 = 10
b) 2/3 , 3/4 ఏది పెద్దదో, ఏది చిన్నదో గుర్తించడం
c) దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = lxb (l పొడవు, b వెడల్పు)

---

---

→ పై ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తే భావనలు ఒకదానికొకటి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. సంకలనం. వ్యవకలనానికి, వ్యవకలనం సంకలనానికి పరస్పర సంబంధాలు కలిగి ఉంటాయి. అలాగే భిన్నాలను పోల్చడంలో ఎక్కువ, తక్కువ సంబంధం వరస్పరంగా ఉంటాయి. దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం అనే భావన దాని పొడవు, వెడల్పు భావనల ఆధారంగా ఒక సూత్రంగా అవతరిస్తాయి ఇలా వేర్వేరు భావనల యొక్క గుణాల్లో ఉండే వరస్పర సంబంధాలను బట్టి భావనను గ్రహించినట్లయితే డానిని సంబంధిత భావనలంటారు. భావనలను ఈ కింది విధంగా కూడా వర్గీకరిస్తారు.



మూర్త భావనలు (Concrete concepts) :-
→ పరిసరాల్లో ఉన్న వస్తువులను జ్ఞానేంద్రియాల ద్వారా భావనలు ఏర్పరచుకొన్నట్లయితే అవి మూర్త భావనలవుతాయి.
ఉదా :- దూరం -దగ్గర, పెద్దది-చిన్నది, ఎక్కువ-తక్కువ, ఆకారాలు



అమూర్త భావనలు (Abstract Concepts) :

→ కంటికి కనిపించకుండా, ఆలోచన ఫలితంగా ఏర్పడే ఖావనలను అమూర్త భావనలంటారు. ఇవి భాషాపరంగా గానీ, ద్వారా గానీ (గుర్తుల ద్వారా) వ్యక్తపరుస్తారు గణిత భావలన్నీ అమూర్తమైనవి.
ఉదా : 1) కాలం భావన- రోజు, గంట, నిమిషం, సెకండ్
2) సంకలనం
3) స్థానవిలువ
4) భిన్నం
5) నిష్పత్తి

→ వైగోట్ స్కీ (Vygotsky) భావనలను రెండు రకాలుగా విభజించాడు :
1) రోజువారి భావనలు (Everyday concepts)
2) శా స్త్రీయ భావనలు (Scientific Concepts)

1) రోజువారి భావనలు :-
→ ఇవి అప్రయత్నంగా (Spontaneous) జరిగే వ్యక్తిగత క్రమబద్ధ పరిశీలపై ఆధారపడతాయి. దీనిలో ఉపాధ్యాయునికి ప్రమేయం ఉండదు. ఈ భావనలను పరిసరాలు, వస్తువుల పరిశీలనలో ఆగమన పద్ధతి ద్వారా సాధారణీకరిస్తారు
→ ఉదా :- పిల్లలు పొడవును బట్టి వివిధ కొలతలు గల కర్రముక్కల్లో ఏది పెద్దదో, ఏది చిన్నదో పోల్చి చెప్పగలరు

2) శాస్త్రీయ భావనలు :-
→ ఇవి ఉపాధ్యాయులు బోధనలు క్రమబద్ధంగా ఏర్పరచే అనుభవాల ద్వారా ఏర్పడతాయి. వీటికి సైద్ధాంతిక పునాది ఉంటుంది అందుకే వీటిని సైద్ధాంతిక భావనలు అని కూడా అంటారు. ఇవి మెదడు యొక్క ఆలోచనల ఫలితాలు, మొదటగా పిల్లలు తన చుట్టూ ఉన్న సామాజిక పరిసరాల్లో అనుక్షణం ప్రతిచర్య జరగడం ద్వారా మూర్త రూపంలో ఏర్పడే రోజువారి భావనల ఆధారంగా ఉపాధ్యాయుని పర్యవేక్షణలో శాస్త్రీయ భావనలుగా అభివృద్ధి చెందుతాయి. ఇవి అమూర్త రూపంలో, సాధారణీకరణ స్థాయిలో ఉంటాయి




భావన లక్షణాలు :-
→ అందరికి భావనలు ఒకేలా ఏర్పడవు. ఒకే స్థాయిలో ఏర్పడవు. పిల్లలు పెరిగిన పరిసరాలు, విషయం పట్ల పూర్వ అనుభవాలు వారికున్న భాషా జ్ఞానం, సాంస్కృతిక అనుభవాలు ఎంతో ప్రభావితం చేస్తాయి.
→ ఏ భావన పిల్లలో ఒకే విధంగా ఏర్పడదు. అది విషయాన్ని బట్టి, అభ్యసన అనుభవాలు, వారి మానసిక స్థితిపై ఆధారపడుతుంది పిల్లల మానసిక పరిణతి స్థాయికి అనుగుణంగా భావనలు ఏర్పడతాయి. 3 నుంచి 6 సంవత్సరాల పిల్లల్లో సరళ భావనలు, మూర్త భావనలు ఏర్పడతాయి. వయస్సు పెరిగిన కొద్ది సంక్లిష్ట భావనలు, అమూర్త భావనలు ఏర్పడతాయి. అలాగే విచక్షణ అమూర్తీకరణ, సాధారణీకరణ చేసే సామర్థ్యాలు పెరుగుతాయి. వాటి స్థాయి కూడా పెరుగుతుంది, అందుకే వాటిని భావన నిచ్చెనలని (Concept Ladders) అంటారు
→ భావనలు నిచ్చన రూపంలో ఉంటాయి. అంటే ఒక భావన నుంచి మరొక భావన ఉద్భవిస్తుంది. క్రమంగా భావన పరిధి విస్తరిస్తుంది. సంక్లిష్టంగా మారుతుంది. అభ్యసించే విషయం ఎంత లోతు ఉంటుందో అదే స్థాయిలో నంక్లిష్ట భావనలు పెరుగుతాయి
→ ప్రత్యక్ష అనుభనాల ద్వారా మానసిక ప్రతిమలు ఏర్పరచుకొని అమూర్తీకరణ చేసుకోవడం ద్వారా, వస్తువుల ధర్మాలను విచక్షణ చేయడం ద్వారా, సాధారణీకరణం ద్వారా, జ్ఞాపకాల ద్వారా వివిధ రకాలుగా భావనలు ఏర్పడతాయి ఏర్పడిన భావనలు వాడుకను బట్టి మెదడులో స్థిరంగా ఉంటాయి
→ కొన్ని విషయాల్లో భావనలు స్పష్టంగా నిర్వచించబడతాయి. కొన్నింటిలో స్పష్టంగా నిర్వచించలేం. ఉదాహరణకి గణితంలో, భౌతికశాస్త్రంలో భావనలు స్పష్టంగా నిర్వచించబడతాయి. కానీ, సాంఘికశాస్త్రంలో భావనలు అంత స్పష్టంగా నిర్వచించలేం.
→ గణిత అభ్యసనం కేవలం భావనలు ఏర్పడటం వరకు పరిమితం కావు. గణిత జ్ఞానం గణిత భావనలతో పాటు గణిత భాష, సంకేతాలు, పద్ధతుల నిరూపణలతో సమన్వయ పరచి విస్తృత పరచుకొంటూ ఉంటుంది. ఏది ఏమైనప్పటికీ గణిత ఆలోచనకు ప్రాతిపదిక గణిత భావనలే అని నిస్సందేహంగా చెప్పవచ్చు.



పియాజె జ్ఞానాత్మక వికాస దశలు - గణితాభ్యసనకు అన్వయింపు:-

→ జాన్ పియాజె (1896-1980) అనే మనస్తత్వ శాస్త్రజ్ఞుడు (స్విట్జర్లాండ్)

→ ఇతను 50 సం||ల పాటు పిల్లల సంజ్ఞానాత్మక వికాసంపై విస్తృతంగా పరిశోధనలు చేశాడు. నాలుగు దశలుగా విభజించాడు.
1) ఇంద్రియ చాలక దశ - 0 నుంచి 2 సం|| లు
2) పూర్వ ప్రచాలక దశ - 2 నుంచి 7 సం|| లు
3) మూర్త ప్రచాలక దశ - 7 నుంచి 12 సం|| లు
4) అమూర్త ప్రచాల దశ - 12 సం|| పైన

ఇంద్రియ ప్రచాలక దశ (0-2 సం॥లు) :-
→ ఇది పుట్టిన దగ్గర నుంచి రెండు సం||ల వరకూ ఉంటుంది
→ శిశువు తన ప్రపంచాన్ని ఇంద్రియాల ద్వారా గ్రహిస్తాడు
→ శిశువు తన ప్రపంచాన్ని ఇంద్రియాల ద్వారా వ్యక్తవరుస్తాడు
→ ఈ దశలో శిశువు తనకు, ఇతర వస్తువులకు మధ్య తారతమ్యం తెలుసుకుంటాడు
→ మొదట శిశువుకు వస్తువు శాశ్వతమైందని తెలియదు. తర్వాత శాశ్వతమైందని గ్రహిస్తాడు
→ ఈ దిశలో శిశువుకు అనుకరణ అధికంగా ఉండును



2) పూర్వప్రచాలక దశ (2-7 సం॥లు) :

→ ఈ దశలో 2 సం|ల నుంచి 7 సం||ల వరకు ఉండును. ఇది మరలా రెండు ఉపదశలుగా ఉండును.

ఎ) పూర్వ భావనదశ (2-4 సం||లు):
→ ఈ దశలో పిల్లలు వస్తువులు, సంఘటనలను, విషయాలను మాట్లాడే భాషలో లేదా గుర్తులతో వ్యక్తపరుస్తాడు
→ ప్రత్యక్షంగా ఉన్న వాటిని, లేని వాటిని గూర్చి కూడా ఆలోచిస్తాడు
→ వాటిని ప్రతీకలుగా అంతర్గతం చేసుకొంటాడు
→ మానసిక ప్రతిమలు ఏర్పరచుకొంటాడు



బి) అంతర్బౌద్ధిక దశ (4-7 సం||లు) :-

→ ఈ దశలో పిల్లలు అహంకేంద్రక స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటారు. ఈ ప్రపంచాన్ని తమ దృష్టి నుంచి చూసిన దానినే వాస్తవమను కుంటారు, ఇతరుల అభిప్రాయాలకు ప్రాధాన్యతనివ్వరు.
→ ఏకమితి దశలో ఉంటారు. ఉదా : - 3 + 6 = 9 అని చెపుతారు కానీ 9 - 3 = ? చెప్పలేరు
→ విషయాన్ని సమగ్ర దృష్టితో చూడలేరు
→ కర్రముక్కలు ఇచ్చివరుస క్రమంలో అమర్చమంటే యత్నదోష పద్ధతిలో అమరుస్తారు.
→ బహురూప నిత్యత్వభావన ఉండదు
ఉదా :- కిలో ఇనుము కన్నా కిలో దూది ఎక్కువ అని చెపుతాడు
ఒకే ద్రవ్యరాశి గోళాకారపు ముద్దకన్నా స్థూపాకారపు ముద్ద పెద్దది అని చెపుతాడు.
ఒకే ద్రవ్యరాశి ఉన్న నీరు వెడల్పు పాత్రలో కన్నా సన్నటి పాత్రలో ఎక్కువ అని చెబుతాడు



మూర్త ప్రచాలక దశ (7-12 సం॥లు) : -
→ అహంకేంద్రక స్వభావం పోయి వాస్తవికత పొందును
→ ఏకమితి స్వభావం పోయి తర్కబద్ధంగా ఆలోచించటం మొదలు పెడతాడు
→ బహురూప నిత్యత్వ భావన కలుగును
→ కర్రముక్కలను ఏకకాలంలో అమరుస్తాడు
→ సంఖ్య, సమయం, ప్రదేశం, కాలం భావనలు ఏర్పడును
→ కూడడం, తీసివేయడం, గుణించటం, ఖాగాహారం లాంటి చతుర్విద ప్రక్రియలు మొదలు పెడతాడు
→ ఇలాంటి ప్రక్రియలను పియాపై "స్కీముల నమూహాలు"గా పరిగణిస్తాడు
→ ఈ సమూహాల్లో ఏదైనా ప్రత్యేక సంబంధాలు కలిగి ఉంటే వాటిని పరిక్రియలు అని అంటారు
ఉదా :- సంవృత, స్థిత్యంతర, సహచర, తత్సమ ధర్మాలు తెలుసుకొనుట
→ మూర్త విషయాల ద్వారా / మూర్త అనుభవాల ద్వారా ఆకారాలను వర్గీకరిస్తాడు
→ అమూర్త అలోచన ఉండదు
ఉదా :- ఎదురుగా విద్యార్థులుంటే ఎవరు పొట్టి ఎవరు పొడుగో చెబుతాడు. కానీ ఎదురుగా లేకుంటే చెప్పలేదు
→ భావనలను పదిలపరచుకొనే శక్తి, వర్గీకరణ శక్తి, విశ్లేషణాశక్తి అభివృద్ధి చెందును

---

---

4) అమూర్త ప్రచాలక / నియత ప్రచాలక దశ (12 సం॥ల పైన) :-
→ అమూర్త ఆలోచనలు వస్తాయి
→ శాస్త్రీయ వివేచన కలిగి ఉంటాడు
→ సమాచారాన్ని వ్యవస్థీకరిస్తాడు
→ పరికల్పనలు చేయుట, బహుళస్థాయి వర్గీకరణలు, బహుళ కార్యకారక సంబంధాలు, సాధారణీకరణ శక్తి మొ||వి తెలుసుకుంటారు
→ సంభావ్యతా వివేచన, తార్కి హేతువాద ఆలోచనలు పెరుగును
→ కాలం - పని, కాలం - దూరం, సంభావ్యత - సారూప్యత భావనలనుపయోగించి సమస్యలను సాధిస్తాడు
→ సముచ్చయం, వైకల్పికం, ఆనుషంగికం, ద్విముఖానుషంగికం, విపర్యాలను ఆకళింపు చేసుకొనును




పియాజే - భావనలు :-
→ ఉపాధ్యాయుడు ఆయా దశల్లో జరిగే మానసిక వికాసాన్నిబట్టి టోధనాధ్యసనానుభవాలు కల్పిస్తే, అభ్యసనం సక్రమంగా కొనసాగును
→ పూర్వ ప్రాథమిక పాఠశాల పిల్లలు (అంగన్ వాడీ) పూర్వప్రచాలక (2-7)లో ఉంటారు. వీరికి తగినన్ని మూర్తానుభవాలు ప్రత్యక్షానుభనాలు కల్పించాలి. ఆటలు, కథలు, పాటలు మొ॥ బోధనా కార్యక్రమాలు పొందుపర్చాలి
→ ప్రాథమిక స్థాయి (1-5)లో పిల్లలకు మూర్తానుభవాలు, ప్రత్యక్షానుభవాలు ఇవ్వాలి
→ ఈ విద్యార్థులకు పటాలు, చిత్రాలు, నమూనాలు వాడాలి. కృత్యాలు ఇవ్వాలి. యత్నదోష పద్ధతిలో పిల్లలు గణిత భావసలు నేర్చుకుంటారు
→ ప్రాథమికోన్నత స్థాయిలో, ఉన్నత స్థాయిలో అమూర్త భావనలు, అమూర్త ఆలోచనలు కలిగిన పాఠ్యాంశాలు బోధించాలి.
ఉదా :- బీజగణితం, సైద్ధాంతిక జ్యామితి, సంబంధాలు







వైగోట్ స్కీ సామాజిక అభ్యసనం - గణితాభ్యసనకు అన్వయింపు :-


→ లెవ్ సెమో నోవిచ్ వైగోట్ స్కీ (Lev Semonovich Vygotsky) రష్యా దేశస్థుడు, విద్యావంతులైన కుటుంబంలో పుట్టినవాడు
→ చరిత్ర, సాహిత్యం, కళలు, తత్వశాస్త్రంలోని విషయాలను గురించి చర్చించుకొనేటప్పుడు వైగోట్స్కీ పాల్గొనేవాడు. వైగోట్ స్కీ మొదట వైద్యశాస్త్రాన్ని తరవాత న్యాయశాస్త్రాన్ని చదివాడు. కాని తను సాహిత్యం , తత్వశాస్త్ర విషయాల విశ్లేషణలతో ఎక్కువకాలం గడిపేవాడు, అందులో ఆసక్తి కనబరిచేవాడు. ఇతను రూపొందించిన సిద్ధాంతమే "సాంఘిక సాంస్కృతిక సిద్ధాంతం (Socio Cultural Theory. ఈ సిద్ధాంతం జ్ఞాన నిర్మాణాత్మక వాదానికి ఊతమిచ్చింది.
→ పిల్లలు తమంతట తాముగా తనకు తెలిసిన పూర్వ జ్ఞానాన్ని వినియోగించుకొని, ప్రస్తుత అనుభవాలతో మూతన విషయాలను అనిష్కరించుకోవడాన్ని జ్ఞాన నిర్మాణం' అని అంటాం.
→ వ్యక్తి జ్ఞాన వికాసానికి సాంఘిక పరస్పర ప్రతిచర్యలు అవసరం. మానవుడు పరిసరాలతో ప్రతిచర్యలు జరపడమేకాకుండా పరిసరాలను తనకు, తన అవసరాలకు అనుగుణంగా మలచుకొని, పరిసరాలతో సర్దుబాటు చేసుకోగలుగుతాడు.
→ అర్థవంతమైన సామాజిక సాంస్కృతిక కృత్యాల వల్లనే మానవ మేధస్సు వికసిస్తుందనే అభిప్రాయాన్ని వైగోట్స్క అందించాడు
→ పిల్లలు సామాజిక సాంస్కృతిక కృత్యాలలో పాల్గొనడం, వాటితో ప్రతిచర్యలు జరపడం వల్లనే వారి ఆలోచనలలో ప్రవర్తనలలో నిరంతరం మార్పులు సంభవిస్తాయనీ, అవి వికసిస్తాయనీ అభిప్రాయపడ్డారు
→ పిల్లలు తమ జ్ఞానాన్ని తామే నిర్మించుకొంటారు. అభ్యసనం వల్లనే వికాసం జరుగుతుంది. పిల్లల్లో వికాసం, జ్ఞాననిర్మాణం వారు ఉన్న సామాజిక, సాంస్కృతిక వాస్తవికతల నేపథ్యంలో జరుగుతుంది. పిల్లల జ్ఞానాత్మక వికాసంలో భాష ప్రముఖస్థానం వహిస్తుంది




జోన్ ఆఫ్ ప్రాక్సిమల్ డెవలప్మెంట్ (Zone of Proximal Development (ZPD) :

→ ZPD అంటే ఒకరు ఒక విషయాన్ని తనకు తానుగా కొంతమేర నేర్చుకోగలడు. కాని, తనకంటే ఎక్కువ సామర్థ్యం ఉన్న వ్యక్తి (ఉపాధ్యాయుడు, తల్లి, తండ్రి స్నేహితుడు లేదా ఇంకొకరు) సహాయ సహకారంతో అంతకంటే ఎక్కువ నేర్చుకోగలుగుతాడు. అంటే తనకు తానుగా నేర్చుకోవడానికి, ఇతరుల

సహాయంతో నేర్చుకున్నదానికి మధ్య ఉన్న దూరాన్నే ZPD అంటారు."

వైగోట్ స్కీ తన సిబ్బాంతదంలో పేర్కొన్న మరోముఖ్య అంశం "సారువ" (Scaffoldingl అంటే సహాయ నహకారాలు అందించడం

అని అర్థం.

ఉదా :- ఒక విద్యార్థి తనంతట తాను రెండంకెల, సంఖ్యల కూడికను ఎత్తి కూడకుండా: చేయగలడు, ఆ విద్యార్థి తన స్నేహితుల సహాయంతో ఎత్తి కూడడం కూడా నేర్చుకొన్నాడు.

→ వైగోటిస్కీ ప్రకారం పిల్లల జ్ఞాన నిర్మాణంలో ఏర్పడే ZPD లను తన కంటే ఎక్కువ సామర్థ్యం ఉన్న వ్యక్తులు మాత్రమే కాక సామాజిక సాధనాలైన కంప్యూటర్లు, ఇంటర్నెట్లు, ఎన్ సైక్లోపీడియాలు, దిక్షనరీలు, వీడియో క్లిప్పింగులు, లైబ్రరీలు, లాజ్లు కూడా పూరించగలుగుతాయని పేర్కొన్నాడు. దీన్నే అతను "సామాజిక సారువ" (Soéial Scaftolding) అన్నాడు. దీన్నే బ్రూనర్-

“ఇన్‌స్ట్రక్షనల్ స్కఫోల్డింగ్" (Instructional Scaffolding) అన్నాడు.

---

---

→ వైగోట్‌స్కీ, మానవుడిలో జరిగే మానసిక ప్రక్రియలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరించాడు. అవి

1.దిగువ స్థాయి మానసిక ప్రక్రియలు

2.ఉన్నతస్థాయి మానసిక ప్రక్రియలు

1.దిగువ స్థాయి మానసిక ప్రక్రియలు (Lower Mental Functions):-

→ వీటిని అంతర్గత సామర్థ్యాలని కూడా చెప్పవచ్చు, ఇవి వ్యక్తికి జన్మతః పుట్టుకతో సహజసిద్ధంగా నంక్రమించే మానసిక అంశాలు, ఉదాహరణకు పరిశీలించం, గుర్తించడం, గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం, ప్రశ్నించడం, పోల్చడం, తెలుసుకోవడం మొదలైనవి.


2.ఉన్నతస్థాయి మానసిక ప్రక్రియలు (Higher Mental Functions):-

→ వ్యక్తి సమాజంలో పరస్పర చర్యలు జరపడం వల్ల దిగువ స్థాయిలోని మానసిక ప్రక్రియలలో అనుసంధానం ఏర్పడటం వల్ల వ్యక్తి ఆలోచనలు, ప్రవర్తనలు ఉన్నతంగా వికసిస్తాయని అభిప్రాయపడ్డాడు.
ఉదాహరణకు సాంఘిక విషయాలను విశ్లేషించడం,సంక్లేషించడం, సృజనాత్మకంగా ఆలోచించడం, వివేచించడం, విచక్షణచేయడం మొదలైనవి

→ ఉన్నత మానసిక ప్రక్రియ వ్యక్తులు దూకుడుగా ప్రవర్తించడాన్ని నియంత్రిస్తుందని, స్వయం క్రమీకరణకు (Self Regulation)

తోడ్పడుతుందని అభిప్రాయపడ్డాడు.



పరస్పర బోధన:-

→ ఈ బోధన ముందుగా తక్కువ సాధన గల విద్యార్థుల పఠనబోధనను పెంచేందుకు ప్రారంభించినప్పటికీ, తరవాత ఇతర సబ్జెక్టులు, పిల్లలందరి బోధనకు ఉపయోగించారు.

→ ఈ పద్ధతిలో ఉపాధ్యాయుడు ఇద్దరి నుంచి నలుగురు విద్యార్థులు కలిసి సహచర సమూహంగా ఏర్పడతారు, ఒక పుస్తకంలోని విషయాన్ని ఒకరి తరవాత ఒకరు సంభాషణల ద్వారా వెల్లడిస్తారు. దీనిలో ప్రశ్నించడం, సంక్షిప్తీకరించడం, స్ష్టీకరించడం ప్రాగుక్తీకరించడం అనే నాలుగు సంజ్ఞానాత్మక వ్యూహాలను సమూహ సభ్యులు ఉపయోగిస్తారు

సహచర్య అభ్యసనం:-

→ స్వభావరీత్యా వ్యక్తులు తమ సమవయస్కులతో గడపడానికే ఇష్టపడతారు. వైగోటిస్కీ ప్రకారం నిపుణులైన సమవయస్కులు ఇతర పిల్లల వికాసానికి తోడ్పడగలరు. భాగస్వామ్య అభ్యసనంలో పిల్లలు చిన్న చిన్న సమూహాలుగా ఏర్పడి వారి ఉమ్మడి లక్ష్య సాధనకు పాటుపడతారు. తోటివారితో చర్చించడం, మాట్లాడటం, కలిసి ఆలోచించడం, ప్రశ్నించుకోవడం, నిర్భయంగా తమ భావాలను వ్యక్తపరచడం ద్వారా, ఇతరులతో కలిసి వారితో ప్రతిచర్యలు జరపడం వల్ల తమ చుట్టూ ఉన్న నమాజం పట్ల తమకంటూ ఆలోచనలు - దృక్పథాలు ఏర్పరచుకొంటారు. సామర్థ్యాలను పెంచుకొంటారు.

వైగోట్ స్కీ సిద్ధాంతం విద్యా అనుప్రయుక్తాలు :-

→ వైగోట్స్కీ సామాజిక అభ్యసన సిద్ధాంతాన్ని గణితాభ్యననకు ఎలా అన్వయించాలో పరిశీలిద్దాం

→ ఉపాధ్యాయులు పాఠశాల, విద్యార్థుల సాంఘిక, సామాజిక నేపథ్యాలను అవగాహన చేసుకొని అందుకు అనుగుణంగా బోధనాళ్యనన అనుభవాలు విద్యార్థులకు కల్పించాలి.

→ అభ్యసన ప్రక్రియలలో “భాగస్వామ్య అభ్యసనానికి" పరిస్థితులు కల్పించాలి. గడిత బోధనాథ్యసనలు జట్లలో కృత్యాలు ప్రాజెక్టులు, చర్చల కేంద్రంగా ఉండాలి.

→ పిల్లలు ఆలోచించడానికి, ప్రవర్తనకు, చర్యలను ఎన్నుకోవడానికి భాష తోడ్పడుతుంది. కాబట్టి గణిత బోధనాభ్యసనలో భాష. పాత్రను గుర్తించి, దానికి ప్రాధాన్యత నివ్వాలి.

→ విద్యార్థులలో జ్ఞాన నిర్మాణం జరగాలంటే గణిత భావనలు, ఎక్కాలు, సూత్రాలు మొదలైన వాటిని కంఠస్థం చేసి వల్లించే వద్ధతులు, ప్రత్యక్ష బోధనల ప్రాధాన్యాన్ని తగ్గించాలి. గణితాభ్యనన అంతాలు అర్థవంతంగా ఉండాలంటే వాటిన స్థానిక అంశాలతో, సందర్భాలతో అనుసంధానం చేయాలి.

→ విద్యార్థులలో సంక్లిష్ట భావనల అవగాహనకు, అందించిన సమాచారాన్ని విశ్లేషణ - సంశ్లేషణ ప్రక్రియలకు, వివేచనాత్మక ఆలోచనలకు దోహదం చేసే పద్ధతులను చేపట్టాలి.

→ ఒక విద్యార్థి తనకు తాను ఎవరి సహాయం లేకుండా కొంతమేరకే, నేర్చుకోగలడు. కాబట్టి, తాను పూర్తిగా నేర్చుకోవడానికి గాను అతని కంటే ఎక్కువ సామర్థ్యం కల్గిన వారితో (ఉపాధ్యాయుడు, స్నేహితులు, తల్లిదండ్రులు మొదలైనవారు) కలిసి నేర్చుకోవడానికి అవకాశాన్ని కల్పించాలి.

→ విద్యార్థి తన కంటే ఎక్కువ సామర్థ్యం ఉన్న వారి సహాయం కాకుండా సామాజిక సాధనాలైన కంప్యూటర్, ఇంటర్నెట్ మొదలైన వాటిని ఉపయోగించుకొని పూర్తిగా నేర్చుకోవడానికి అవకాశముంటుంది. కాబట్టి ఉపాధ్యాయులు విద్యార్థులకు

ఇలాంటి అనుభవాలను గణిత బోధనాభ్యసనంలో కల్పించాలి.

గణిత బోధన పద్ధతులు:-

→ తెలిసిన విషయం నుంచి తెలియని విషయానికి (Known to unknown)

→ సరళత నుంచి క్లిష్టతకు (Simple to complex)

→ మొత్తంలో నుంచి భాగాలకు లేదా స్థూల దృష్టి నుంచి సూక్ష్మ దృష్టి (Whole to parts)

→ మూర్త అనుభవాల నుంచి అమూర్త అనుభవాలు ( Concrete to abstract)

→ మనో వైజ్ఞానిక ప్రాధాన్యత, ఆ తరవాత తార్కిక ప్రాధాన్యత (Importance of psyschological aspects to logical aspects)

→ ఆగమన విధానం నుంచి నిగమన విధానం. (Inductive process to deductive process)

→ విశ్లేషణ నుంచి సంశ్లేషణ (Analysis to synthesis ప్రయోగాల పరిశీలన నుంచి సూత్రీకరణ

→సహజ అభ్యసన సన్నివేశాలు, ఉదాహరణలు కృత్యాల ద్వారా భావనలు ఏర్పరచడం పిల్లలు తమంతట తామే జ్ఞాన నిర్మాణాన్ని చేసుకోవడానికి తగిన అభ్యసన అనుభవాలు కల్పించడం.

→ అన్వేషణకు ప్రాధాన్యత ఇవ్వడం

బట్లర్, రెన్స్ ప్రకారం బోధనా దశలు నాలుగు స్థాయిల్లో ఉంటాయి. అవి :-

→నూతన భావనల, సంబంధాల అవగాహన గణిత జ్ఞాన ఆర్జనకు దోహదం చేయడానికి - భావనలు, సంబంధాలను లోతుగా, ఫలవంతంగా అవగాహన చేసుకోవడానికి తోడ్పడటం

→పొందిన అవగాహనలను, నైపుణ్యాలను పదిలపరచడానికి సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించడం

→అభ్యసించిన జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు దైనందిన జీవితంలో సాంఘిక అవసరాలకు, బౌద్ధిక వికాసానికి అనువర్తించడానికి

బోధనగావించడం.



ఆగమన పద్ధతి:-

→నిర్దిష్ట అంశాలనుంచి సాధారణీకరణాలను రూపొందించడమే అగమనం -ఫౌలార్ .

→ప్రత్యేక సత్యాల నుంచి సాధారణ సత్యాలను రూపొందించడమే ఆగమనం, - జీవన్

ఆగమన పద్ధతి లక్షణాలు :-

→ఉదాహరణల నుంచి సూత్రీకరణ చేయడం

→ప్రయోగాలు లేదా పరిశీలనల నుంచి అనుమేయం (Deduce) చేయడం లేదా సాధారణీకరించడం లేదా అనుమతి (Iinfer) చేయడం

→ మూర్త విషయాల నుంచి అమూర్ఘ విషయాలకు

→ ఒక సందర్భంలో నిజమైన ఘటన, అలాంటి అనేక సందర్భాల్లో పునరావృతం అయ్యి నిజమయితే, ఆ అనుభవాన్ని సామాన్వీకరించడం జరుగుతుంది. అంటే ప్రత్యేకాంతం నుంచి సాధారణీకరించడం దిశగా ఆలోచనా విధానం కొనసాగుతుంది

→ఒక తార్కిక పద్ధతిలో, సార్వత్రిక పద్ధతిలో సత్యాన్ని రుజువు చేయడం.



ఆగమన పద్ధతి ఉపయోగించే సందర్భాలు :-

→సూత్రీకరణ చేయడానికి

→విషయాన్ని సాధారణీకరించడానికి

→నియమాలు రూపొందించడానికి

→సిద్ధాంతీకరించడానికి

→ పరిశీలనాంశాల ఆధారంగా 'అనుమతి' చేయడానికి

→నిర్వచనాలు ఇవ్వడానికి



ఆగమన పద్ధతి యొక్క గుణాలు:-

→ఆవిష్కరణలకు తావునిస్తుంది. అంటే జ్ఞానాన్ని విస్తరించడానికి దోహదం చేస్తుంది.

→ప్రత్యక్ష అనుభవాల ఆధారంగా జ్ఞాన నిర్మాణం జరుగుతుంది

→ఇది విషయ శోధనకు, అన్వేషణకు తావిస్తుంది

→ఆలోచనా రీతి మూర్త స్థాయి నుంచి అమూర్త స్థాయిలోకి ప్రయాణిస్తుంది

→సహజమైన అభ్యసన పద్దతి, భావనోద్భవన అవగాహనతో అవుతుంది

→ మూర్త అనుభవాల నుంచి అభ్యసన జరుగుతుంది. కనుక విద్యార్థుల్లో విషయ అవగాహన బాగా జరుగుతుంది అభ్యసన ప్రక్రియలో చురుకుగా ఉండడానికి అవకాశం ఎక్కువ, కనుక సూత్రాలు, నియమాలు కంఠన్దం చేయవలసిన

పనిలేదు. ఒకవేళ మరిచిపోతే, పిల్లలు ఆ సూత్రాలు, నియమాలు ఏర్పడిన ప్రక్రియను పునరుత్పాదన చేసుకొంటారు



పరిమితులు:

→ ఇది సుదీర్ఘమైన ప్రక్రియ

→ ఆగమన పద్ధతిలో గణిత సత్యాలను శోధించినప్పటికీ, అవి నిగమనాత్మక పద్ధతిలో తర్కబద్ధంగా నిరూపించినప్పుడు మాత్రమే

గణిత పరంగా ఆమోదించబడుతుంది.

→ ఈ పద్ధతిలో అభ్యసన పరిపూర్ణం కాదు. ఎందుకంటే గణితాళ్యననలో సాధించడంలో అభ్యాసం చేయడం అనేది ముఖ్యమైన అంశం. ఆగమన పద్ధతిలో ఇది వీలుపడదు

→ ఈ పద్ధతి ప్రాథమిక స్థాయిలో, ప్రాథమికోన్నత స్థాయిలో అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఉన్నత స్థాయి విద్యలో ఈ పద్దతి అంతగా ఉపయోగంలో ఉండదు




నిగమన పద్ధతి:-

→నిగమన పద్ధతిలో ఒక గణిత సత్యాన్ని పలుకోణాల్లో పరిశీలించి, దాని ఆధారంగా మరిన్ని నత్యాలను తెలుసుకోవడానికి

అవకాశం ఉంటుంది. .

→నిగమన పద్ధతి “యూక్లిడ్" శోధనా పద్ధతిగా ప్రఖ్యాతి గాంచింది.


నిగమన పద్ధతి యొక్క లక్షణాలు:-

→ ఆగమన పద్ధతికి విపర్యయం

→ సాధారణీకరించిన అంశం నుంచి ప్రత్యేక ఆంశం దిశవైపు కొనసాగుతుంది.

→ సూత్రీకరణ నుంచి ఒక నిర్దిష్టమైన సందర్భానికి అనుప్రయుక్తం చేయడం జరుగుతుంది.

→ సూత్రీకరణలను లేదా నియమాలను పరీక్షించే దిశలో కొనసాగుతుంది.

→ అమూర్తత్వం నుంచి మూర్తత్వం వైపు సాగుతుంది.





నిగమన పద్ధతి ఉపయోగించే సందర్భాలు :-

→ సూత్రాలను ఉపయోగించి సమస్య సాధనకు ప్రాధాన్యత ఉన్నప్పుడు

→ పిల్లలకు సూత్రం, నియమం ఏ విధంగా ఉత్పన్నం అయ్యిందో అనే విషయం ప్రాధాన్యత లేనప్పుడు నేరుగా సూత్రాన్ని

నియమాన్ని ప్రవేశపెట్టవచ్చు

→ విద్యార్థులకు అంతగా అవగాహన స్థాయి లేనప్పుడు బోధించిన అంశాలు, సూత్రాలు, నియమాలు పునర్విమర్శ చేసుకోవడానికి

→ ఒక సూత్రం నుంచి మరొక సూత్రాన్ని కనుక్కోవడానికి, అదే విధంగా ఒక సిద్ధాంతం ఆధారంగా మరొక సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి

→ అభ్యసన చేసిన అంశాలకు / భావనలకు తుది రూపం ఇవ్వడానికి,



నిగమన పద్దతి గుణాలు:-

→ఇది సరిచూడడానికి ఉపయోగించే పద్ధతి, సంక్షిప్తమైంది.

→ విద్యార్థులకు జ్ఞాన ఫలాలను అందుబాటులో ఉంచుతుంది. విద్యార్థులు వినియోగించడానికి ప్రాధాన్యతనిస్తుంది.

→ ఇది వేగమైన ప్రక్రియ, సమయాన్ని పొదుపు చేస్తుంది.

→ ఈ ప్రక్రియలో ఆలోచనా రీతి సాధారణీకరణ నుంచి ప్రత్యేక విషయానికి లేదా ప్రత్యేక పరిస్థితిని అన్వయిస్తుంది.

→ నిగమనాత్మక నిరూపణ విధానం గణితశాస్త్రంలో అతి ముఖ్యమైన విధానం

→ ఈ విధానం సంసృతికి ఎక్కువ ప్రాధాన్యతను ఇస్తుంది.

→ మానసిక పరిణతి చెందిన పిల్లలకు ఈ పద్ధతి వారి మేథస్సుకు తగ్గ సవాళ్లను ఎదుర్కోవడానికి దోహదం చేస్తుంది


పరిమితులు:-

→ ప్రత్యక్ష అనుభవాల ప్రమేయం లేకుండా ఇతర మార్గాల గుండా జ్ఞానార్థనకు దోహదపడుతుంది. కాబట్టి ప్రాథమిక స్థాయిలో

ఈ బోధనా పద్ధతి అంతగా ఉపయోగపడదు

→ సూత్రాలు, నియమాలు జ్ఞప్తికి పెట్టుకోవలసిన అవసరం ఉంది, కనుక మెదడుపై భారం ఎక్కువ. మరచిపోయిన దాన్ని 'పునర్నిర్మాణం చేయలేదు. కనుక ఆగమన పద్ధతిలో సూత్రాలు, నియమాలు ఉత్పాదన ప్రక్రియలో అవగాహన ఉండి వాటిని

వల్లె వేస్తే ఫలితాలు మెరుగ్గా ఉంటాయి.

→ ప్రాథమిక స్థాయి పిల్లల మానసిక ఎదుగుదల పరిణతి స్థాయిలో ఉండదు. కాబట్టి ఈ వద్దతి అవలంబించడం వల్ల పిల్లలు

క్రియాత్మక అభ్యాసకులు కాలేరు

→ వాస్తవానికి ఆగమన - నిగమన పద్ధతులు రెండూ గణిత శాస్రాభివృద్ధికి, హేతువాద పద్ధతికి మూల స్తంభాలు.

→ ఈ రెండు పద్ధతులు గణిత బోధనలో ఒకదానికొకటి మద్దతుగా ఉంటాయి

విశ్లేషణ - సంశ్లేషణ పద్ధతి :


→ విశ్లేషణ పద్ధతి విషయ అవగాహనకు, సంశ్లేషణ పద్దతి సాధనా విధానం సోపానాల యుక్తంగా నంక్లిప్తంగా వివరించడానికి

ఉపయోగపడుతుంది

→ విశ్లేషణ పద్ధతి ఆలోచన ప్రక్రియ, సంశ్లేషణ పద్ధతి ఆలోచనా ఫలితాన్ని ప్రతిబింబిస్తాయి

విశ్లేషణ పద్ధతి లక్షణాలు :

→ విశ్లేషణ పద్ధతి బోధనా విధానం: సారాంశం దిశ నుంచి దత్తాంశం దిశలో కొనసాగుతుంది

→ ఆశించిన పర్యవసానం వచ్చే వరకు అవసరమైన తార్కిక సోపానాలతో దత్తాంశం వైపుకు దారితీసే తార్కిక విధానం

అనుసరిస్తుంది

→ తెలియని విషయం నుంచి తెలిసిన విషయానికి తార్కిక సంబంధాలను శోధిస్తాడు.

→సమస్య సాధనలో ఉపయోగించిన ప్రతి సోపానానికి కారణం తెలుపుతుంది

→ ప్రవచనాలు, సిద్ధాంతాలు ఎలా నిరూపించాలో విశ్లేషణాత్మక వివరణ ఇస్తుంది


గుణాలు:-

→విషయం, అవగాహనలో స్పష్టత కలిగి ఉంటుంది

→ ఇది ఒక తార్కిక పద్ధతి

→ ప్రతి సోపానం వెనుక స్పష్టమైన ఆలోచన, అవసరం ఉంటుంది.

→ అన్వేషణా దృక్పథాన్ని పెంపొందిస్తుంది.

→ నూతన విషయాలను, కనుక్కోవాలని ఉత్సాహాన్ని రేకెత్తిస్తుంది.

→ ప్రతి సోపానం కారణభూతమై ఉంటుంది, కాబట్టి గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం ఉండదు

→ ఈ పద్ధతి సూక్ష్మస్థాయిలో, అంటే విషయాన్ని చిన్న చిన్న భాగాల్లో విశ్లేషణ చేయడం వల్ల క్లిష్టమైన నమస్యల సాధనకు

ఉపయోగపడుతుంది.



పరిమితులు:-

→ ఇది సుదీర్ఘమైన పద్ధతి

→ ఈ పద్ధతి వేగంగా సమస్య సాధనకు వీలుకాదు

→ అన్ని శీర్షికలు ఈ పద్ధతిలో బోధించడానికి ఉపయోగపడకపోవచ్చు

సంశ్లేషణ పద్ధతి యొక్క లక్షణాలు :

→ విశ్లేషణ పద్ధతికి వ్యతిరేక దిశలో పని చేస్తుంది

→ బోధనా విధానం దత్తాంశం నుంచి సారాంశం దిశలో పయనిస్తుంది.

→ తెలిసిన విషయం నుంచి తెలియని విషయం దిశలో గొలుసు కట్టు రీతిలో తార్కిక నిగమనాత్మక స్ోపానాలతో వాదన

నిర్మితమవుతుంది

→ సంశ్లేషణం అంటే వివిధ అంశాలను ఏకం చేయడం ద్వారా నూతన విషయం లేదా నుాతన ఆలోచన ఉద్భవిస్తుంది


సంశ్లేషణ పద్ధతి గుణాలు :

→ ఈ పద్ధతి సాధారణ సమస్యలను (Routine problems) వేగంగా సాధించడానికి ఉపయోగపడుతుంది

→ ఇది సంక్షిప్త పద్ధతి

→ కాలాన్ని పొదుపు చేస్తుంది.

→ విషయాన్ని సంక్షిప్తంగా, సోపానాల యుక్తంగా చెప్పడంలో నైపుణ్యం అభివృద్ధి చెందుతుంది

→ ప్రవచనాలు సిద్ధాంతాలు రుజువుచేసే మార్గాన్ని తెలుపుతుంది


పరిమితులు:-

→ సమస్య సాధనలో వాడే సోపానాలు కొన్ని సందేహాలకు తావిస్తుంది. అంటే సంపూర్ణ అవగాహనకు తాను ఉందదు.

→ కొన్ని సోపానాలు గుర్తు తెచ్చుకోలేక మధ్యలోనే విద్యార్థులు వదిలేస్తారు.

→ ఈ పద్ధతిలో నూతన ఆలోచనకు, ఆవిష్కరణకు అవకాశం తక్కువ.



విశ్లేషణ - సంశ్లేషణ పద్ధతి ఉపయోగించే సందర్భాలు :-

→ అంకగణిత పద సమస్యల సాధనలో

→ జ్యామితిలో సిద్ధాంత నిరూపణలు చేయడానికి

→ జ్యామితిలో సమస్య సాధనలో

→ జ్యామితి నిర్మాణాలు చేయడానికి

→ బీజగణితంలో సమస్యలు, పద సమస్యల సాధనలో

→ సాధారణంగా గణితంలో సంక్లిష్టమైన సమస్యల సాధన చేసేటప్పుడు

→ క్షేత్రగణితంలో సమస్యల సాధనలో




అన్వేషణ పద్ధతి (హ్యూరిస్టిక్ పద్ధతి):-

→ హ్యూరిస్టిక్ (Heuristic) అనే మాటకు, గ్రీక్ భాషలో "నేను కనుక్కొంటాను" అనే అర్థం వస్తుంది. అందుకే ఈ పద్ధతిని ప్రొఫెసర్ (H.E Amstrong (U.K) ఫ్రాచుర్యం చేశాడు



→ ఆయన "విద్యార్థి ఒక అన్వేషకుడుగా మారితే ఎవరో చెప్పిన విషయాలకంటే ఎక్కువ విషయాలు నేర్చుకొంటాడు" అని గట్టిగా

నమ్మాడు

→ అన్వేషణ పద్ధతి రెండు స్థాయిల్లో విభజించవచ్చు. అది ఉపాధ్యాయుని మార్గనిర్దేశక స్థాయిని బట్టి ఉంటుంది. (Teacher

guidance)

1)శుద్ధ అన్వేషణ (Pure discovery)

2)నిర్దేశిత అన్వేషణ (Guided discovery)

→ శుద్ధ అన్వేషణలో ఉపాధ్యాయుని ప్రమేయం తక్కువ స్థాయిలో ఉంటుంది. కాని నిర్దేశిత అన్వేషణలో ఎక్కువ స్థాయిలో

ఉంటుంది.

→ఏ స్థాయిలో అన్వేషణ పద్ధతి ఉపయోగించాలనేది. విద్యార్థి మానసిక పరిణతి, నేర్చుకోవలసిన విషయ క్లిష్టత, ఉపాధ్యాయుని సన్నాహం, అందుబాటులో ఉన్న వనరులపై ఆధారపడి ఉంటుంది

ఉదా :- 1) సమాంతర చతుర్భుజ లక్షణాలను అన్వేషించడం

2) 8, 16 సంఖ్యల మధ్య వివిధ సంబంధాలను అన్వేషించడం.

3) పరిసరాలలో ఉన్న వివిధ ఆకారాలను అన్వేషించడం.





అన్వేషణా పద్ధతిలో ముఖ్య లక్షణాలు:-

→ వ్యాసక్తుల ద్వారా అభ్యసన,

→ నిర్దేశిత ప్రత్యక్ష అనుభవాలు,

→ మూర్త అనుభవాల నుంచి, అమూర్త ఆలోచనల పరంపర.

→ పరిశీలన, ప్రయోగం, శోధన కేంద్రంగా అభ్యసన

→ తెలిసిన అంశాల నుంచి తెలియని అంశాలు కనుక్కోవడం

→ స్వయం ఆలోచన, స్వయం అధ్యయనం ఇమిడి ఉంటాయి

→ శాస్త్రీయ ఆలోచనకు, హేతువాద దృక్పథానికి ప్రాతిపదిక

→ అభ్యసనలో విద్యార్థి పాత్ర చురుకైంది. ఉపాధ్యాయుని పాత్ర నిష్క్రియాత్మకం, కాని విద్యా అనుభవాలు కలిగించడంలో

చురుకైన పాత్ర ఉంటుంది.




ఈ పద్ధతి ఎందుకు ఉపయోగించాలి:-

→ పిల్లల్లో పరిశీలన శోధించే గుణాలను పెంపొందించడానికి

→ పిల్లల్లో ఉన్న అంతర్గత సామర్థ్యాలను అభివృద్ధిపరచడానికి

→ ఒక క్రమపద్ధతిలో, వివిధ మార్గాల ద్వారా విషయాన్ని సేకరించడం, నమోదు చేయడం, విశ్లేషణ చేయడం, అనుమితి చేయడం లాంటి నైపుణ్యాలు అభివృద్ధి కావడానికి తద్వారా పరిశోధన దృక్పథాన్ని పెంపొందించడం.

→ స్వయం అభ్యసన, స్వతంత్రంగా అభ్యసన చేయడానికి, నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడానికి





అన్వేషణ పద్ధతిలో ఉపాధ్యాయుడు ఏమి చేయాలి ?:-

→ బోధన విషయాన్ని ఒక శోధకంగా, ఒక సమస్యగా మార్చాలి.

→ సమస్యను శోధించడానికి / అన్వేషించడానికి అనువైన పరిస్థితులను కల్పించాలి. స్వేచ్ఛాయుతమైన వాతావరణం ఏర్పరచాలి

→ సమస్యను అధ్యయనం చేయడానికి, సాధించడానికి

→ పిల్లల్లో ఆలోచనలు రేకెత్తించే ప్రశ్నలు వేయాలి

→ తగిన సూచనలు లేదా మార్గ నిర్దేశనం చేయాలి

→ అవనరమయినంత వరకే ఉపాధ్యాయుడు సహాయం అందించాలి తప్ప అన్నీ తానే అయ్యి అన్ని పసులు చేయకూడదు

→ పిల్లల సామర్థ్యాలకి అనుగుణంగా సమస్యను లేదా పనిని ఇవ్వాలి.

→ తరగతి స్థాయిని బట్టి ఆ స్థాయికి అనుగుణంగా కార్యాన్ని పిల్లలకు ఇవ్వాలి.

→ పిల్లల్లో అన్వేషణా న్యూర్తి ప్రతిబింబించేటట్లు తరగతిలో ప్రశ్నలు అడగాలి



అన్వేషణా పద్ధతి గుణాలు :-

→ పిల్లలు వారి స్టాయిలో ఒక పరిశోధకుడుగా, తాస్త్రజ్ుడుగా భావించుకొంటారు. పిల్లలకు ఇది ఒక రకమైన ప్రోత్సాహం

→ పిల్లల్లో స్వీయ క్రియాశీలత, స్వీయ అభ్యసన దోహదం చేస్తుంది.

→ విద్యార్థి కేవలం' సమాచారం గ్రహించడమే ప్రధానం కాకుండా నూతన ఆలోచనలు, నూతన విషయాలు (తన స్థాయిలో)

కనుక్కొంటాడు.

→ అతడు ఒక జ్ఞాన నిర్మాతగా వ్యవహరిస్తాడు.

→ మనోవిజ్ఞాన రీత్యా ఈ పద్ధతి ఉత్తమమైంది. ఎందకంటే విద్యార్థి క్రియాత్మక, సృజన, నిర్మాణాత్మక ధోరణులు పూర్తిగా

వినియోగించుకొంటాడు.

→ శోధించిన క్షేత్రంలో లోతైన జ్ఞానాన్ని, అనుభవాన్ని గడిస్తారు

→ అన్వేషణ క్రమంలో జరిగే అభ్యసన సుసంపన్నమైంది. అది స్థిరంగా నిలుస్తుంది.

→ అభ్యసనలో జ్ఞాపకశక్తికి ప్రాధాన్యత లేదు

→ ఎవరి అభ్యసన గమనాన్ని బట్టి వారు ఆ విధంగా అభ్యసన చేసుకోవడానికి దోహదపడుతుంది

→ ఏ స్థాయి తరగతికైనా అన్వేషణ పద్ధతి పాటించవచ్చు. (సంపూర్ణంగా గాని, పాక్షికంగా గాని)


పరిమితులు :-

→ ఉపాధ్యాయుడు అన్వేషణ పద్ధతి చేపట్టడానికి జ్ఞానపరంగా, వృత్తిపరంగా తగు నైపుణ్యాలు కలిగి ఉండాలి. లేకపోతే ఈ వద్దతి విజయవంతం కాదు

ఈ పద్ధతి చేపట్టడానికి ఉపాధ్యాయుడు ముందుగా తగు ప్రణాళికలు, సామాగ్రిని ఏర్పాటు చేసుకోవాలి. లేకపోతే ఈ పద్దతి

అంతగా రాణించదు.

→ సాధారణం , కరగతిలో అందరి పిల్లలకు ఒకేలాగా బోధించినట్లు అన్వేషణ పద్దతిలో ఒకే అంశం, ఒకే నమన్య ఇవ్వడానికి వీల్లేదు. విద్యార్థుల వ్యక్తిగత సామర్థ్యాలను దృష్టిలో పెట్టుకొని సమస్యలు ఇవ్వాలి. ఇందువల్ల ఉపాధ్యాయుని పసిభారం! పెరుగుతుంది

ఈ పద్ధతి సూత్రీకరణ చేయడానికి, వివిధ రకాల మధ్య సంబంధాలను తెలుసుకోవడానికి ఒక దృగ్విష్యం లేదా ఒక ఘటన ఎందుకు జరిగిందో కారకాలు తెలుసుకోవడానికి జరుగుతుందే తప్ప ఈ విధానం వల్ల విద్యార్థుల్లో నేర్చుకొన్న అంశాలు శాశ్వతంగా నిలిచిపోవడానికి గాని, సమస్యల సాధనను అభ్యాసం చేయడానికి గాని వీలుపడదు

→ ఈ పద్ధతిలో పిల్లలకు అన్ని వేళలా పర్యవేక్షణ అవసరం. పిల్లలు ఎక్కువ ఉన్న తరగతుల్లో ఈ వద్ధతి సాధ్యపడటం కష్టం. ఇది సుదీర్ఘమైన ప్రక్రియ, కాలం ఎక్కువ తీసుకొంటుంది.

→ అన్ని గణిత సత్యాలు ఈ పద్ధతిలో అన్వేషించలేం.

ప్రాజెక్టు పద్ధతి:-

→ 20వ శతాబ్దం విద్యారంగంలో ప్రాజెక్టు పద్ధతి లేదా ప్రకల్పన పద్ధతి ఒక నూతన అధ్యాయం నెలకొల్పింది.


→ ఈ ప్రాజెక్టు పద్ధతి మూలాలు అమెరికా దేశానికి చెందిన జూ డ్యూయీ (John Dewey) యొక్క వ్యవహారికా సత్తావాదం

(Philosophy of pragmatism) పై ఆధారపడి ఉన్నాయి.

→ ఈ వాదాన్ని విద్యారంగానికి అన్యయింపచేసిన వారిలో జాన్ద్యూయితోపాటు విలియమ్ జేమ్స్ (William]ames), కిల్వాట్రిక్ (Kiipatrick), స్టీవెన్సన్ (Stevenson), బాలార్డ్ (Ballard) ముఖ్యులు

→ ఈ వాదం ప్రకారం ప్రాచీనకాల విలువలను విడిచి, నేటి సామాజిక రాజకీయ ఆర్థిక విద్యా పరిస్థితులకు అనువైన విలువలను, లక్ష్యాలుగా ఎన్నుకొని విద్యను అందించాలి

→ అనేక సమస్యలతో కూడిన ఒక పనిని సహజ పరిస్థితులలో జయప్రదంగా నిర్వహించడమే ప్రాజెక్ట్ -ప్రొ॥ ఆర్మ్ స్ట్రాంగ్ (Prof. Armstrong)

→ వీలైనంత వరకు అనువైన సహజ పరిసరాలలో నిర్వహించిన, సంపూర్ణ హృదయపూర్వక, ప్రయోజనాత్మక వ్యాసక్తే ప్రకల్పన - డా॥ కిల్ పాట్రిక్ (Dr. Kill Patrik)

→ అనువైన సహజ ఫరినరాలలో పూర్తిచేసే వరకు నిర్వహించే సమస్యాయుత వ్యాసక్తే ప్రకల్పవ. - స్టీవెస్ సన్ (Stevenson)

→ పాఠశాలలోకి దిగుమతి చేసిన నిజ జీవితభాగమే ప్రకల్పన - బెల్లార్డ్ (Ballard)

→ పిల్లలు సహలు వాతావరణంలో తమంతట తాముగా అన్వేషించి, పరిశోధించి అవసరమయ్యే సమాచారాన్ని సేకరించి దాని ఆధారంగా ఒక విషయం వట్లగాని, అంతంపట్లగాని అవగాహన ఏర్పరచుకొని నిర్ధారణకు రావడానికి దోహదపడే కృత్యాలను ప్రాజెక్టులు లేదా ప్రకల్పనలు అని అంటాం.

ప్రాజెక్టు లక్షణాలు:-

→ ఇది మనో విజ్ఞాన శాస్త్రానికి సంబంధించిన అభ్యయసన సూత్రాల (సంసిద్ధతా సూత్రం, అభ్యసన సూత్రం, ఫలిత సూత్రం)పై

ఆధారపడిన జ్ఞాన నిర్మాణాన్ని చేస్తుంది.

→ ఇది కృత్యాల సమాహారం, ఒక కృత్యానికి మరొక కృత్యానికి సంబంధం ఉంటుంది. (Connected activities)•

---

---

→ అన్వేషణ, శోధనకు దోహదపడే కృత్యాలుంటాయి.

→ పనిచేస్తూ నేర్చుకోవడం అనే సూత్రం ఇమిడి ఉంది

→తరగతి గదిలోనే కాకుండా, అదనపు సమయంలో పాఠశాల ఐయటచేసే కృత్యాలతో కూడి ఉంటుంది

→ ఇది లక్ష్యాధారంగా ఉంటుంది. ప్రణాళికాబద్ధంగా ఉంటుంది.

→ విషయం కేంద్రంగా ఉంది, అదనపు అంశాలతో సమన్వయ పరిచి జ్ఞానాన్ని విస్తృత పరచడానికి అవకాశం ఇచ్చేవిగా ఉంటుంది

→ అభ్యసన అనుభవాలు సహజసిద్ధంగా ఉంటాయి

→ నేర్చుకొన్న జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు నిజ జీవితంలో అన్వయించడానికి వీలు కలిగి ఉంటుంది

→ ఒకే విషయలో (Subject) వివిధ అంశాల్లో అలాగే వేర్వేరు విషయాల్లో సమ్మేళనం చేయడం జరుగుతుంది

→ జట్లలో పిల్లలు పనిచేసే అవకాశం ఉంటుంది

→ పిల్లల్లో ఊహాత్మక ఆలోచన, సృజనాత్మకత పెంపొందించడానికి అవకాశాలు ఉంటాయి.


→ ఇందులో అభ్యసన అయత్నసిద్ధంగా సందర్భోచితంగా జరుగుతుంది.



ప్రకల్పన రకాలు:-

→ కిల్‌పాట్రిక్ ప్రకల్పనలను నాలుగు రకాలుగా గుర్తించారు. అవి

1.నిర్మాణాత్మక ప్రకల్పనలు

→ విద్యార్థుల్లో నిర్మాణాత్మక కౌశలాలను పెంపొందించడానికి ఉద్దేశించబడినవి ఉదా :- సన్ డయల్ తయారీ, కవర్ల తయారీ

→ 12 గంటలు, 24 గంటల గడియారం తయారుచేయడం

→ వివిధ ఆకారాలు, పేపర్ కటింగ్ ద్వారా గాని, బంకమట్టితో గాని తయారుచేయడం.

→ పాఠశాల 7వ తరగతి పరీక్షా ఫలితాలు లేదా గ్రామ జనాభా రేఖీయ చిత్రాల ద్వారా ప్రదర్శించడం.

→ స్కూలు నర్సరీని తయారుచేయడం

2.ఆనందదాయక ప్రకల్పనలు

→ వస్తువుల సేకరణ (ఆకారాలు, కరెన్సీ, కాయిన్స్) గణితానికి సంబంధించిన ఆటలు ఆడటం.

→ విద్యా విహార యాత్రల్లో (ఐడ్జెట్ అంచనా వేయడం, జమా ఖర్చులు సంబంధించిన లెక్కలు చూడటం)

→ గణిత ప్రదర్శనలు ఏర్పాటు చేయడం

3.ప్రజ్ఞా ప్రకల్పనలు

→ సమన్యలను రూపొందించడం, సాధించడం,

→ సమస్యలను వివిధ పరిస్థితుల్లో సాధన చేయడం

4.జీవిత ఉపయోగ ప్రకల్పనలు :

→ భౌతిక అవసరాలు, సామాజిక అవసరాల ఆధారంగా రూపొందిన ప్రకల్పనలు

→ ప్రాజెక్టులు చేసే విద్యార్థుల సంఖ్యను బట్టి కూడా వివిధ రకాలుగా విభజించవచ్చు

1.వ్యక్తిగత ప్రాజెక్టులు (Individual Projects)
2.జట్టు ప్రాజెక్టులు (ఇద్దరు కలిసి పనిచేసే ప్రాజెక్టులు)
3.సామూహిక ప్రాజెక్టులు (Group Projects)

4.తరగతిలో పిల్లలందరూ పాల్గొనే ప్రాజెక్టులు (Class Based Projects) (గణిత కృత్యాలతో తరగతిని అలంకరించడం, గణిత పుస్తకాలు సేకరించడం మొదలైనవి)

5.పాఠశాల పిల్లలందరూ పాల్గొనే ప్రాజెక్టు (School based Projects)

ఉదా :- పాఠశాల దినోత్సవం, గణిత ప్రదర్శన, మెట్రిక్ మేళా


→ జె.ఎ. స్టీవెన్ సన్ ప్రకల్పనలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరించాడు. అవి

1.భౌతిక ప్రకల్పనలు (Physical project)

ఈ రకం ప్రకల్పనల్లో వివిధ వస్తువులు, పరికరాలు తయారుచేయడం.

2. మేథోసంపత్తి ప్రకల్పనలు (Intellectual projects) : ఈ ప్రాజెక్టులు పిల్లల తెలివి తేటలకు సంబంధించినవి..

ప్రాజెక్టు పద్ధతిలో సోపానాలు :

→ పిల్లలు ప్రాజెక్టులు చేపట్టడానికి పరిస్థితులు కల్పించాలి లేదా సంసిద్ధులను చేయాలి

→ ఎన్నికచేసే ఉద్దేశాన్ని వివరించడం,

→ పథక నిర్మాణం,

→ ప్రణాళికాబద్ధంగా ప్రాజెక్టును అమలుపరచడం, పర్యవేక్షణ చేయడం

→ ప్రాజెక్టు నివేదిక



మంచి ప్రాజెక్టులు ఎలా ఉండాలి?:-

→ పిల్లలు పరిశోధించేవిగా, అన్వేషించేవిగా ఉండాలి.

→ కొత్త విషయాలు తెలు చుకొనేవిగా ఉండాలి.

→ పాఠ్యాంశం ఆధారంగా ఉండాలి, అదనపు సమాచారం రాబట్టేలా ఉండాలి.

→ పిల్లల స్థాయికి అనుగుణంగా ఉండాలి.

→ పిల్లల స్వయంగా చేసుకొనేటట్లు ఉండాలి

→ పని విభజనకు అవకాశం ఉండాలి

→ పిల్లలందరూ చురుకుగా పాల్గొనేటట్లు ఉండాలి

→ఆసక్తిని రేకెత్తించేవిగా ఉండాలి

→ జ్ఞానతృష్ణ తీర్చిదిద్దేలాగా ఉండాలి.

→కాల పరిమితి ఎక్కువ కాకుండా, ఆర్థిక భారం లేకుండా ఉండాలి

→చేయడానికి సాధ్యమయ్యేవిగా ఉండాలి.



ప్రాజెక్టు పద్దతి - పరిమితులు:-

→ ఇది అన్ని గణితాంశాల బోధనలో వీలు పడదు.

→ సమయం, శక్తి వనరులు, ప్రయత్నాలు, ఎక్కువ స్థాయిలో జరగాలి.

→ నియమబద్ధంగా, అవిచళంగా బోధన చేయడానికి వీలు లేదు. అంతేగాక కొన్ని అంశాల్లో అభ్యసనం తగినంతగా లేనిది నేర్చుకోలేదు. ఇలాంటి సందర్భాల్లో ఈ పద్ధతి అంత అనువుగా ఉండదు.

→ ఉపాధ్యాయుడు ముందుగానే ప్రణాళిక, వ్యూహరచనలు చేసుకోవాలి. ఇప్పుడున్న పరిస్థితుల్లో అతనికి భారం ఎక్కువవుతుంది.

→ పునశ్చరణకు అవకాశం లేదు


→ పాఠశాలలో ఇప్పుడు అనుసరిస్తున్న కాల నిర్ణయ పట్టిక ఈ పద్ధతికి సరిపడదు

→ ఇప్పుడున్న వ్యవస్థలో సిలబస్ పూర్తిచేయడం కష్టం



సమస్య పరిష్కార పద్ధతి:

→ ఒక సవాలును అంగీకరించి, దాని పరిష్కారం కోసం పాటుపడే ప్రక్రియే సమస్య పరిష్కారం". - Cooney, David Hender సమస్య పరిష్కారం పద్ధతిలో సోపానాలు:

→సమస్యను గుర్తించడం

→ సమస్యను నిర్వచించడం.

→ కావలసిన సమాచారాన్ని సేకరించడం

→ సమాచారాన్ని వ్యవస్థీకరించడం,

→ తాత్కాలిక పరికల్పన తయారుచేసుకోవడం లేదా తాత్కాలిక పరిష్కార మార్గాన్ని ఏర్పాటు చేసుకోవడం,

→ ఏర్పాటు చేసుకొన్న పరికల్పనను పరీక్షించడం

→ ఫలితాన్ని సరిచూసుకోవడం.



సమస్యాపరిష్కార పద్ధతులు :

1.పునః ప్రవచనం పద్ధతి

2.విశ్లేషణ పద్ధతి

3. సాదృశ్యాల పద్ధతి

4.ఆధారతల పద్ధతి -

5.చిత్రీకరణ పద్ధతి



సమస్యాపరిష్కార పద్ధతి - గుణాలు :-

→ విద్యార్థుల్లో ఉన్నత ఆలోచనలైన విశ్లేషణ శక్తి, ఊహాశక్తి, సృజనాత్మకత, విభిన్న రీతిలో ఆలోచించడం, వినూత్న ఆలోచనలు

మొదలైన వాటి అభివృద్ధికి దోహదపడతాయి.

→ స్వయం అభ్యసనకు దోహదపడుతుంది.

→ పట్టుదల, ఆత్మవిశ్వాసం, సహనం మొదలైన లక్షణాలు అభివృద్ధి అవుతాయి ఈ పద్ధతి గణిత తత్వాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది. అందుకే ఇది గణిత బోధనకు సహజమైనది.

→ సమస్య పరిష్కారంలో నిర్దుష్టమైన ప్రణాళిక, ఏర్పరచుకొని సాధన చేయబడుతుంది, కాబట్టి, పిల్లల్లో మానసిక క్రమశిక్షణ

ఏర్పడుతుంది

→ సమస్యల్లో పిల్లలు పరిష్కారం సాధించినట్లయితే, ఆ విజయం వారి మరికొన్ని సంక్లిష్టమైన సమస్యలను సాధించడంలో

దోహదం చేస్తుంది

→ వ్యక్తిగత అభ్యాసానికి అవకాశం కల్పిస్తుంది

పరిమితులు:

→ ఇది చాలా నిదానమైన పద్ధతి, సమయం ఎక్కువ తీసుకొంటుంది.

→ అందరు పిల్లలు ఒకేలాగ అభ్యసించరు, కాజట్టి తరగతిలో వైయక్తిక కృత్యాలు చేపట్టాలి. ఇలా వ్యక్తిగత బోధన

చేయడం ద్వారా ఉపాధ్యాయునికి పని ఖారం పెరుగుతుంది.

→ నిర్దేశిత సిలబస్ పూర్తిచేయడంలో ఇబ్బందులు ఉంటాయి

క్రీడా పద్ధతి:-

→ చిన్న పిల్లలకు ఆటలంటే మహా ఇష్టం

→ ఆటలు ఆడటం వల్ల ఆనందం, మానసికోల్లానంతో పాటు శరీర పెరుగుదల, దృఢత్వం, కండరాల మధ్య సమస్వయం

పెరుగుతాయి.

→ అందువల్ల - నా వేత్తలు శిశుకేంద్ర విద్యా విధానాలను, క్రీడలకు పాఠ్యప్రణాళికలో అధిక ప్రాధాన్యత ఇవ్వాలని సూచించడం

జరిగింది

→ ఈ దిశలోనే ఫెడ్రిక్ ఫ్రోబెల్ (1782 1952), మేధియా మాంటిస్తోర (Maria Montessori 1870 - 1952) అనే ఇద్దరు తమ తమ ఆశయాలకు అనుగుణంగా విద్యా విధానాలు అమలుచేసి విద్యా వ్యవస్థలో ఒక నూతన ఒరవడిని సృష్టించారు.



కిండర్ గార్టెన్ పద్దతి :

→ జర్మన్ విద్యావేత్త హెడ్రిక్ ఫ్రోబెల్ 1837లో బాడ్ బ్లాంకన్ బర్గ్ (Bad Blankan burg) లో స్టాపించిన "Play and Attivity Institute" లో మొట్ట మొదటిసారిగా కిండర్ గార్డెన్ అనే పదాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. " .


→ కిండర్ గార్డెన్ అంటే బాలోద్యానం అని అర్థం. ఇందులో పిల్లలు ప్రకృతి ఒడిలో పరుండి ప్రకృతిని పరిశీలించడం, తమ

చుట్టూ ఉన్న పరిసరాలను ఆకశింపు చేసుకోడం, రాజకీయ సాంఘిక పరిస్థితులకు అతీతంగా పిల్లలు తమంతట తామే ఈ

ఉద్యానవనంలో పెరగడం అనేది ప్రధానమైన అంశం

→ కిండర్ గార్డెన్లో పిల్లలు ఒకరితో ఒకరు మాట్లాడుకోవడం, కలిసి ఆడుకోవడం ద్వారా వారిలో భావప్రకటన వ్యక్తమవుతుంది ఇది పిల్లల అభ్యసనలో ప్రధానమైన అంశం..

ఈ విధానంలో

→ బొమ్మలతో సృజనాత్మకంగా ఆడటం, కథలు చెప్పడం.

→ ఆరోగ్యానికి ఆటలు, నృత్యం ఆడించడం

→ ప్రకృతి అధ్యయనంలో భాగంగా తోటలో మొక్కలను పరిశీలించడం.

→ పై కృత్యాలను పిల్లలతో చేయించడం ద్వారా పిల్లల్లో ఈ కింది సామర్థ్యాలు అభివృద్ధి అవుతాయి.

1.స్వయం వివర్తన

2.స్వయం భావప్రకటన

3.స్వయం అధ్యయనం

→ ఈ పద్ధతిలో అభ్యసన కింది విధంగా జరుగుతుంది.

1.కథలు చెప్పడం

2.ఆటలు ఆడటం


3.పాటలు పాడటం

4)(Construction)


మాంటిస్సోరి పద్ధతి :-

1.ఇటలీ దేశస్థురాలైన డాక్టర్ మేరియా మాంటిస్సోరి (1870 1952) బహుముఖ ప్రజ్ఞాశాలి.

ఆమె ఒక విద్యావేత్తగా, ఒక వైద్యురాలిగా, ఒక శాస్త్రవేత్తగా, ఒక ఆంత్రోపాలజిస్ట్ గా పేరుపొంది, మతిస్థిమితం లేని రోగులకు వైద్యం చేసేది. వారికి విద్య నేర్పడానికి కొత్త కొత్త పద్ధతులను పాటించి విజయవంతమైంది.

→ ఆ పద్ధతినే మామూలు విద్యార్థులకు కూడ వర్తింపచేయవచ్చని భావంచి 3 సంవత్సరాల నుంచి కౌమారదశ వరకు

అమలుపరిచింది.

→ మాంటిస్సోరి విద్యావిధానం- సూత్రాలు

→ పిల్లలకు సంపూర్ణమైన స్వేచ్ఛను ఇవ్వాలి. ఈ స్వేచ్ఛ పిల్లలే స్వీయ నిగ్రహం, స్వీయ క్రమశిక్షణ, అభివృద్ధి పొందటానికి

దారితీస్తుంది

→ పిల్లలకు తమంతటతామే అభ్యసించే సామర్థ్యం ఉంది. కాబట్టి వారికి స్వీయ అభ్యసనానికి అవకాశం ఇవ్వాలి.

→పిల్లల సమగ్ర మూర్తిమత్వాన్ని పెంపొందించడానికి శారీరక, మానసిక, సాంఘిక, ఉద్వేగ అంశాల్లో తగిన ప్రాధాన్యత

ఇవ్వాలి, బాహ్య ప్రేరణ కంటే అంతఃప్రేరణకు ప్రాధాన్యత ఇవ్వాలి

→ జ్ఞానేంద్రియాలే జ్ఞానానికి ద్వారాలు అని ఈ పద్ధతి సంపూర్ణంగా నమ్ముతుంది - చలనాడుల సమర్ధత అనేది ఈ విధానంలో ఒక ముఖ్యమైన అంశం

→కిండర్ గార్డెన్' పద్ధతిలాగే ఈ వద్దతిలో కూడ పిల్లలు అభ్యసనలో చురుకుగా పాల్గొనాలని, వివిధ మార్గాల గులడా తమ

→ పరిసరాలు అన్వేషించాలని కోరుకొంటుంది.

→ పిల్లల పరిశీలనకు అభ్యసన క్రమంలో పెద్దపీట వేయడం జరిగింది. సాంఘిక శిక్షణలో భాగంగా పిల్లలు పాఠశాల జీవన విధానం ద్వారా ప్రత్యక్ష అనుభవాలు పొందే అవకాశం కల్పిస్తారు

→ఈ పద్ధతిలో జట్టుపని కంటే వ్యక్తిగత పనికి ఎక్కువ ప్రాముఖ్యత ఉంటుంది. వ్యక్తిగత సంరక్షణ కార్యక్రమాలకు ఆరోగ్యం , Toilet Training) పరిశుభ్రతకు ప్రాధాన్యత ఉంటుంది.

→ పిల్లలను మూడు-మూడు ఏళ్ళ విరామంతో సున్నిత దశలుగా విభజించడం జరిగింది. 3 సం -6 సం , 6 సం - 9 సం, 9 సం- 12నం, 12సం - 15సం. ఆయా వయస్సులో జరిగే మానసిక అభివృద్ధి ఆధారంగా బోధనా

కార్యక్రమాలు ఇవ్వడం

జరుగుతుంది."

→పిల్లలు స్వయం నిర్ణయాలు చేయడానికి ఆస్కారం కలిగించడం జరుగుతుంది

→పిల్లలు తమచుట్టూ ఉన్న పరిసరాలను అవగాహన చేసుకోవడం, ఆయా దశల్లో పరిసరాలపై పట్టు సాధించడం, నైపుణ్యాలు

→ఆర్జించడం అనేది ముఖ్యమైన అంశం

→స్వయంగా తప్పులను సరిదిద్దుకొనదానికి (Self- corrective). బోధన పరికరాల (Didactic apparatus) ఉపయోగం ద్వారా

→ భావనలు అభ్యసించడం

కృత్య పద్ధతి :-

→ నేడు పాఠశాల విద్యా వ్యవస్థలో 'కృత్య పద్ధతి' అనే పదం ప్రపంచం మొత్తం బోధన - అధభ్యసన క్రమానికి సూతన దిశా

నిర్దేశకం చేసింది

→ ఈ క్రమంలో కృత్య పద్ధతి శిశు కేంద్రీకృత విద్యగా అంటే అభ్యాసకుని కేంద్రీకృత విద్యగా నేడు బహుళ ప్రాచుర్యంలోకి

రావడానికి దోహదం చేసింది.

→కృత్యాలను వివిధ రకాలుగా వర్గీకరించవచ్చు

భౌతిక పరమైనవి : ఆటలాడటం, మాట్లాడటం, కొలవడం మొదలైనవి

బౌద్ధిక పరమైనవి : వర్గీకరించడం, ఆలోచించడం, విశ్లేషించడం, నమస్య సాధించడం.

సాంకేతిక పరమైనవి : అటాకతో లెక్కించడం, స్కేలుతో కొలవడం, డామినోలతో ఆడటం

ప్రత్యక్ష అనుభవాలు : ప్రయోగం, క్షేత్ర పర్యటన, ప్రదర్శనలు, పరిశీలించడం మొదలైనవి

మౌఖిక అంశాలు: మాట్లాడటం, పాటలు పాడటం, చదవడం, చెప్పడం మొదలైనవి

మౌఖికేతర అంశాలు: బొమ్మలు వేయడం, రాయడం, నాట్యం చేయడం మొదలైనవి

→ అభ్యసనలో పిల్లలు చురుకుగా పాల్గొనేటట్లు ఉపాధ్యాయుడు పైన తెలిపినటువంటి కృత్యాలను తరగతి గదిలోగాని, తరగతి వెలుపలగాని తన బోధనలో భాగంగా చేస్తే, ఆ బోధనా పద్ధతిని కృత్య పద్ధతి లేదా కృత్యాధార పద్ధతిగా భావించవచ్చు

కృత్యాధార పద్ధతిలో బోధించడానికి సూత్రాలు:-

→ ఉపాధ్యాయుడు రూపొందించిన అభ్యసన ప్రక్రియలు కల్పించాలి.
→ క్రియలు, అన్వేషణ ప్రయోగాల ద్వారా అభ్యసనాన్ని అభివృద్ధి చేయడం
→ వ్యక్తిగత, సామూహిక, పూర్తి తరగతి పనిని అభివృద్ధి పరచడం
→ వైయక్తిక భేదాలను గుర్తించడం.
→ స్టానిక పరినరాలను ఉపయోగించడం
→ విద్యార్థులు చేసే పనిని ప్రదర్శించి చక్కగా నిర్వహించడం ద్వారా ఆసక్తి కలిగించే గదిని రూపొందించడం

ప్రయోగశాల పద్ధతి

→ గణిత ప్రయోగశాల పద్ధతిలో ప్రాథమిక, ప్రాథమికోన్నత స్థాయి నందు ఈ క్రింది అంశాలు బోధించడానికి అనువుగా ఉంటాయి

1) లెక్కించడం
2) వస్తువులను ఉపయోగించి చతుర్విధ ప్రక్రియలు చేయడం.
3) సంఖ్యా రేఖలు గీయించడం (సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలు
4) సంఖ్యా రేఖలపై చతుర్విధ ప్రక్రియలు సూచించడం.
5) వస్తువులను వర్గీకరణ చేయడం
6) భిన్నాల పటాలు తయారుచేయడం.
7) ఇచ్చిన పొడవు, బరువు, ద్రవం, వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను సమాన భాగాలుగా చేయడం, భిన్నరూపంలో నూచించడం
8) గడియారాలు, క్యాలెండర్లు తయారుచేయడం
9) జ్యామితి ఆకారాలను నిర్మాణం చేయడం
10) పరిమాణాన్ని అంచనా వేయడం,
11) క్షేత్రగణితానికి సబంధించిన సమస్యలు
12) సమాంతర రేఖలు, తిర్యగ్రేఖల ధర్మాలు
13) ఖండన రేఖలు, సమాంతర రేఖల ధర్మాలు







ప్రయోగశాల పద్ధతి యొక్క లక్షణాలు :-
→ పిల్లలకు ప్రత్యక్ష అనుభవాలను, మూర్త అనుభవాలను కలిగిస్తాయి
→ పరిశీలనతో విషయాన్ని నిర్ధారణ చేస్తారు
→ విషయాన్ని శోధిస్తారు. ప్రయోగ రూపంలో గణిత వాస్తవాలను తెలుసుకొంటారు.
→ విజ్ఞానశాస్త్రం లాగే ప్రయోగరూపంలో విషయాన్ని కనుక్కోవడం, తెలుసుకోవడం, నిర్ధారణలు చేయడం లేదా అనుమితి (Infer) చేయడం జరుగుతుంది. అంటే ఆగమన ఆలోచన ప్రక్రియ (Inductive process) కొనసాగుతుంది
→ ఈ పద్ధతిలో పిల్లల్లో శాస్త్రీయ దృక్పథం, హేతువాద దృక్పథం, వివేచనాశక్తి అలవడుతుంది. ప్రయోగాలు నిర్వహించడంవల్ల ఒక పద్ధతి ప్రకారం పరిశీలనలు చేయడం, దత్తాంశాన్ని సేకరించడం, అవసరమైన పరికల్పనలు చేయదం, దత్తాంశాన్ని విశ్లేషణ చేయడం, నిర్ధారణలు చేయడం లాంటి నైపుణ్యాలు అలవడుతాయి
→ పిల్లలు పనిచేస్తూ అభ్యసన చేస్తారు.
→ వనరుల అందుబాటు దృష్ట్యా అవసరాన్ని బట్టి ప్రయోగాలు జట్లలోగాని, వ్యక్తిగతంగా గాని చేయవచ్చు
→ పిల్లల్లో పరిశీలన, హస్త లాఘవ (Manipulative) నైపుణ్యాలు పెరుగుతాయి.
→ ఈ పద్ధతిలో విభిన్న సామర్థ్యాలు గల పిల్లలు తమ తమ అభ్యసన గమన వేగంతో పని చేస్తారు



ప్రయోగశాల పద్ధతి యొక్క గుణాలు :-

→ అభ్యసన మనోవైజ్ఞానిక సూత్రాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది
i) మూర్త అనుభవాలు, ప్రత్యక్ష అనుభవాలు
ii) ఆగమన ప్రక్రియ
iii) ప్రత్యక్షాల ఆధారంగా జరిగే ప్రక్రియ
iv) కృత్యం ద్వారా అభ్యసనం జరుగుతుంది.
v) పరిశీలన ద్వారా అభ్యసనం జరుగుతుంది

→ ప్రత్యక్ష అనుభవాలు మూర్త వస్తువులతో పనిచేయడం ద్వారా అభ్యసన అర్ధవంతంగా కొనసాగుతుంది
→ గణిత సత్యాలు, గణిత నియమాలు, సూత్రాలు సరిచూడడానికి, తన స్థాయిలో కనుక్కోవడానికి అవకాశాలు కలిగిస్తాయి
→ ఈ పద్ధతిలో అభ్యసించిన అంశాలు ఎక్కువ కాలం గుర్తుంటాయి.
→ విభిన్న సామర్థ్యాలున్న పిల్లలకు ఈ పద్ధతి అనువుగా ఉంటుంది
→ శాస్త్రీయ దృక్పథం, ఆలోచన ఏర్పడటానికి ప్రాతిపదికగా ఉంటుంది
→ గణితాన్ని వాస్తవ విషయాలకు అన్వయించుకొని అభ్యసించడం జరుగుతుంది.
→ పిల్లలు స్వతంత్ర ఆలోచనకు అలవాటు పడతారు.



లోపాలు :- ఈ పద్ధతి

→ చాలా సమయం తీసుకొంటుంది.
→ అన్ని పాఠ్యాంశాలకు వర్తించదు
→ ఖర్చు ఎక్కువ
→ గణిత సమస్యలు అభ్యాసం చేయడం ద్వారా ఏర్పడే నైపుణ్యాలు ఈ పద్ధతిలో ఏర్పడటానికి అవకాశాలు తక్కువ
→ గణితం పై తరగతుల్లో క్రమంగా అమూర్తీకరించడం జరుగుతుంది.
→ కనుక ప్రయోగశాల పద్ధతి కొన్ని పరిమితుల్లో ఉపయోగపడుతుంది.
→ స్థలం ఎక్కువ తీసుకొంటుంది.





బహళ స్థాయి బోధన :-
→ ఒక తరగతిలో పిల్లల అభ్యసన స్థాయిలు ఒకే విధంగా ఉండవు. వారిలో వైయక్తిక భేదాలు ఉంటాయి. వారిలోని వైయక్తిక భేదాలను కింది విధంగా చెప్పవచ్చు.
1) ప్రతిభావంతులు
2) సగటు స్థాయి
3) అభ్యసనలో వెనకబడినవారు
→ తరగతిలో జట్లుగా చేసినప్పుడు ఈ మూడు రకాల విద్యార్థులను కలిపి జట్టు సభ్యులుగా చేయడం (MNcd Group) ఇది ఒకటవ పద్ధతి. రెండవ పద్ధతి సామర్థ్యాల వారీగా జట్టు చేయడం (Ability Group). ఇది బహుళ స్థాయి బోధనగా భావించవచ్చు సాధారణంగా మొదటి పద్ధతి ప్రకారం జట్లు చేసి అభ్యసన కార్యక్రమాలు ఇవ్వవచ్చు. ఇలా చేయడం వల్ల చదువులో వెనకబడిన విద్యార్థులు తోటి విద్యార్థులతో అంటే ప్రతిభావంతులతో లేదా సగటు స్థాయి విద్యార్థులతో పరన్పర చర్య Interaction) వల్ల వారి అభ్యసన గమనం ముందుకు పోవడానికి అవకాశం ఉంది. ఎందుకంటే పిల్లల ఫరస్పర చర్య (Child-contact / Interaction) అనేది అభ్యసనలో ఒక శక్తివంతమైన సాధనం, సమవయస్కుల సమూహంలో పిల్లలు తమ ఆలోచనలు, ఇబ్బందులు ఒకరితో ఒకరు చెప్పుకోవడానికి స్వతంత్రత కలిగి ఉంటారు
→ ఈ సమూహంలో ప్రతిభ కలిగిన వారు, సగటు స్థాయి పిల్లలు ఉండటం వల్ల అభ్యసనలో వెనకబడిన విద్యార్థులు, వీరిద్దరి వల్ల ప్రయోజనం పొందుతారు.
→ అలాగే సహనం, ఓపిక మొదలైన అలవాట్లు అలవడతాయి. విద్యార్థులను జట్లుగా చేసేటప్పుడు మరొక ముఖ్యమైన విషయం గుర్తుంచుకోవాలి, అభ్యసనలో వెనకబడిన విద్యార్థి అన్ని అంశాల్లో ఉండకపోవచ్చు
→ ఒకే స్థాయి సామర్థ్యం గల పిల్లలను కొన్ని కొన్ని సందర్భాల్లో వేరు వేరు సమూహాలుగా చేయవలసిన అవసరం ఉంటుంది
→ అలాగే అభ్యసనలో వెనకబడిన విద్యార్థులకు లోప నివారణ బోధన చేయడానికి లేదా ప్రాథమిక ఆంశాలు స్థిరపరచదానికి, ఆవర్తన పని ఇవ్వడం జరుగుతుంది. ఇలాంటి సందర్భాల్లో సామర్థ్యాల వారీగా జట్లు చేయడం జరుగుతుంది

భావనల అవగాహన లేకుండా అభ్యాసాలు చేయడం :
→ ఒక గణిత తరగతిలో ఉపాధ్యాయుడు బోర్డు పై మూడంకెల సంఖ్యలు రాసి వాటిని పదాలలో రాశాడు అలాగే కొన్ని సంఖ్యలను పదాలలో రాసి వాటిని సంఖ్యా రూపంలో రాశాడు. వాటిని రాసుకొమ్మని విద్యార్థులకు చెప్పాడు. ఆ తర్వాత అనే సంఖ్యను బోర్డుపై రాసి ఒక విద్యార్థిని చదుప్పుమన్నాడు. ఆ విద్యార్థి "ఇరవై అయిదు" అని చదివాడు. మరో విద్యార్థిని బోర్డుపై రెండు వందల అయిదు' అనే సంఖ్యను రాయమన్నాడు. ఆ విద్యార్థి "2005ో అని రాశాడు.
→ ఈ సందర్భంలో ఆ విద్యార్థులందరికీ "స్థానవిలువలు" అనే భావన లోపించినట్లు అర్థమవుతుంది. "స్థాన విలువలు" అన్నే భావనను బోధించడంలో ఏర్పడిన దోషం, అభ్యసనంలో దోషంగా ప్రతిబింబించింది.




మూర్తం నుంచి అమూర్తానికి : -

→ ఒక గణిత తరగతిలో ఉపాధ్యాయుడు "గోళం" గురించి బోధిస్తున్నాడు. బోర్డుపై ఒక వృత్తాన్ని గీసి గోళం వృత్తాకారంలో ఉంటుందని, దానిలోపల ఖాళీ ప్రదేశముంటుందని, దానికి దొర్లే గుణం ఉంటుందని చెప్పాడు. ఆ తర్వాత, గోళానికి ఒక ఉదాహరణ చెప్పమన్నాడు. విద్యార్థులు సరైన ఉదాహరణ చెప్పలేకపోయారు

→ ఈ సన్నివేశంలో ఉపాధ్యాయుడు చెప్పిన లక్షణాలతో గోళం ఎలా ఉంటుందో ఊహించుకొని "గోళం" అనే భావనను అర్థం చేసుకోగలిగితే గోళానికి సరైన ఉదాహరణలను చెప్పి ఉండేవారు. కాని ప్రాథమిక స్థాయిలో పిల్లలు అమూర్త భాషనలను అవగాహన చేసుకోవడం అనేది వారి స్థాయికి మించినది.
→ దీనికి కూడా ఒక క్రమం ప్రతిపాదించబడింది, ఇది ELPS గా ప్రాచుర్యం పొందింది
E-Experience with physical objects
L-Spoken Language that describe their experience
P- Pictures that represent their experience
S-Written Symbols that generalise Experience
ELPS ను విపులంగా చర్చిద్దాం



భౌతికంగా కన్పించే వస్తువులతో వివిధ అనుభవాలను ఏర్పర్చడం :-
→ పిల్లలకు గోళం (బంతి), స్థూపం (పౌడర్ డబ్బా), దీర్ఘఘనం (పెట్టె), శంకువు (కోన్ ఐస్ క్రీం) ఆకారం గల వస్తువులను చూపించడం, వాటిని తమ చేతులతో స్పర్శిస్తూ వాటి లక్షణాలను గ్రహింప చేయడం. ఇదే మూర్త పస్తువులతో ప్రత్యక్ష అనుభవాలను కల్పించడం. (Experience with physical objects)

అనుభవాలను సొంతమాటలలో వ్యక్తపర్చడం :-
→ ఆయా ఆకారాలకు వాడే పదాలు లేదా పేర్లను పిల్లల చేత చెప్పించడం ద్వారా అనుసంధానపరచడం, గుండ్రంగా ఉన్న వస్తువులు దొర్లే వస్తువులని గుర్తింపజేయడం. ఇలా మాట్లాడే భాష ఆ అనుభవాన్ని వివరిస్తుంది. (Spoken language that describes their experience).

వ్యక్తపర్చిన లేదా వివరించిన దానిని బొమ్మల రూపంలో చూపడం :-

→ నిజమైన వస్తువు బదులు బంతి (గోళం) పటాన్ని చూపిస్తే, చూడడానికి నిజమైన బంతికి, పటానికి ఎంతో తేడా ఉంటుంది. పటంలో ఉన్న బంతికి దొల్లేగుణం లేనప్పటికి, తాను ఆడే బంతి లాంటి దేనిని గుర్తింపజేయడం. ఈ విధంగా పటం గత అనుభవాన్ని చూపిస్తుంది. (Picture that represents. experience)



సాధారణీకరించి సంజ్ఞలు, పదాలు, జ్యామితీయ పటాలు మొదలైనవాటి రూపంలో పరిచయం చేయడం : -
→ బంతి లేదా గోళం పలకడానికి ఉపయోగించి రాతపూర్వక పదాలు లేదా సంకేతాల (Symbols) డ్వారా బంతి (గోళం) అనే అమూర్తం భావన (మానసిక ప్రతిమ) ఏర్పర్చడం, అంటే భాషలో. సంకేతాలతో పొందిన అనుభవాలను సాధారణీకరించడం జరుగుతుంది. (Generalise the experiences through written symbols/numbers)
→ ఇలా గణిత భావనల బోధనాథ్యసన మూర్తం నుంచి అముర్తానికి జరగాలి.