గణిత స్వభావం/ పరిచయం

→ సముద్రమంతటి గణితశాస్త్రానికి అంతు ఎక్కడిది ?- భాస్కరాచార్య




గణితం -అర్ధం :-

→ MATHEMATICS అనే పదం MANTHANEIN మరియు TECHNE అనే గ్రీకు పదాల నుంచి వచ్చింది

→ గ్రీకు భాషలో "MANTHANEIN" అంటే నేర్చుకోవడం 'TECHNE అంటే "ఒక కళా లేక "సూక్ష్మపద్దతి" అని అర్థం.


→ గణితం అంటే విషయాలకు (Disciplines) సంబంధించిన వివిధ సూక్ష్మపద్ధతులను నేర్చుకొనే కళ అనవచ్చు.

గణితం - నిర్వచనాలు

→ సంస్కృత భాషలో "గణ్" అంటే లెక్కించడం. కాబట్టి గణితమంటే లెక్కులు చేయడముని లేదా గణనలు చేయడమని చెప్పవచ్చు.
→ సంఖ్య, రాశుల, మాపనాల విజ్ఞానమే గణితం - బెల్
→ సంఖ్య,పరిమాణం, ఆకారాల శాస్త్రమే గణితం,
→ పరిమాణ బద్ధ ఆలోచనలను వ్యక్తం చేయడానికి ఉపయోగపడే భాషే గణితం
→ పరికల్పిత ఉత్పాదక వ్యవస్థ గణితం. -మేరియా పెయరీ
→ ఆవశ్యకత పర్యవసానాలను' ఊహించే విజ్ఞానమే గణితం.- బెంజిమన్ పీర్స్

గణిత స్వభావం

1. గణితం వరసక్రమంపై ఆధారపడిన, అంశం :
→ గణితానికి సంబంధించిన అంశాలు ఒకదానిపై మరొకటి ఆధారపడి ఉంటాయి
ఉదా :- సంఖ్యామానం - సంజ్ఞామానంపై అవగాహన లేని వారికి కూడికలు బోధించలేం. అలాగే కూడికలు రాని వారికి గుణకారం బోధించలేం.

2. అమూర్త లక్షణం (Abstract) :-
→ గణితం అనేక అమూర్త భావనలు కలిగిన శాస్త్రం.
ఉదా :-
→ సంఖ్య అనేది ఒక అమూర్త భావన
రెండు పుస్తకాలు , రెండు అనేది అమూర్త భావన

3. గణితం తార్కికమైంది : -
→ తర్కమే గణితానికి పునాది. గణితశాస్త్ర భావనలన్ని పూర్తిగా తార్కిక నిర్మాణం వల్లనే ఏర్పడ్డాయని రస్సెల్, వైట్ హెడ్ భావించారు
ఉదా :- 3+ 5= 8 ⇒ 8-5=3; 8-3=5; 3 +5 = 8 కాబట్టి 8 ≠ 5, 8 - 3 = 5 అవుతుంది.

4. అంతర్భుద్ధి (సహజ జ్ఞానం)తో ఏర్పడింది :-
→ ప్రతి గణిత ప్రవచనం మానవుని అంతర్జుద్ధి (సహజ్ఞానం) వల్ల ఏర్పడిందని భావిస్తారు.

5. గణితశాస్త్ర సంకేతాలు :-
→ గణితం సంకేతాలు కలిగిన ఒక భాష, గణితశాస్త్ర సూత్రాలన్ని సాధారణంగా సంకేతాలతోనే తెలుపబడతాయి.
ఉదా :- 1) సమానం " = " 2) సమాంతరం "॥"

6. నమూనాల అధ్యయన శాస్త్రం : -
→ గణితశాస్త్రం ఏ ప్రాపంచిక విషయానికైన నమూనాలను సూచిస్తుంది. భౌతికశాస్త్ర నమూనాలు వస్తురూప నమూనాలతో గణితం సూచించగలగడం వల్లనే వాటిని విశ్లేషించి పరిశోధించడం జరుగుతుంది
ఉదా :- "అల్గారిధం" సాధారణ గణిత నమూనా

7. గణితశాస్త్రం దాదాపు అన్ని రకాల శాస్త్ర అధ్యయనాలకి ఓ ఆధారం లేక పరికరంగా తోడ్భడుతుంది

8. కచ్చితత్వం (Accuracy) :-
→ గణితం హేతువాదన పద్దతి ద్వారా, కచ్చితమైన ఫలితాలను సాధించడానికి వీలైన శాస్త్రం.
→ గణితంలోని ఫలితాలను "సరైనవి, సరికానివి" అని మాత్రమే వర్గీకరించవచ్చు
→ ఉదా : 3x5=15. ఈ ఫలితం ఎవరు చెప్పినా ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

9. సరిచూసే పద్ధతి (Self- verification) :-
→ సమస్యలను గణిత వర్ధతుల్లో సాధించిన తర్వాత ఫలితాలను సరిచూసుకొనే అవకాశం ఉంది

10. ఆగమన - నిగమన హేతువాదం :-
→ ఒక విషయాన్ని అనేకసార్లు పరిశీలించినప్పుడు ఒకే ఫలితాన్ని పొందినట్లయితే మిగతా అన్ని సందర్భాల్లో కూడా అదే ఫలితాన్నిస్తుందని నమ్మకం కలుగుతుంది. అటువంటి విషయ నిర్ధారణను ఆగమన హేతువాదం అంటారు .
ఉదా :- 1 + 3 = 4
3 + 5 = 8 ...... వీటి ద్వారా రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఒక సరిసంఖ్య అని తెలుసుకోవచ్చు.
→ నిగమన హేతువాదం కొన్ని స్వానుభవ విషయాలు, అనిర్వచిత పదాలు, స్వీకృత్యాలు, నిరూపించబడిన సత్యాలపై ఆధారపడుతుంది
→ ఉదా : అర్ధవృత్త ఖండంలోని కోణం సమకోణం అని నిరూపించడం

11. సహజమైన ఆలోచనా విధానం (Originality of Thinking) :-
→ గణితంలో నమస్యలను వ్యక్తి తార్కిక ఆలోచనా శక్తి, సృజనాత్మక శక్తి ఆధారంగా సాధించాల్సి ఉంటుంది. కాబట్టి గణితం అభ్యసించడం ద్వారా విద్యార్థుల్లో తార్కిక ఆలోచనా శక్తి, సృజనాత్మక శక్తులు పెంపొందుతాయి.

12. సౌందర్య లక్షణం (Aesthetic Character) :-
→జ్యామితి ఆధారంగా మానవునితో నిర్మించబడే కట్టడాలు, ప్రకృతిలో సౌస్టవదూపాన్ని కలిగిన పూలు, ఆకులు అలాగే, గణిత పజిల్స్, శిల్పం ఇవి అన్ని కూడా గణిత నియమాలకు లోబడిన విషయాలని మనకు తెలుసు

గణితశాస్త్రం - చారిత్రక సమీక్ష

→ మొదట మానవ అవసరాలను తీర్చడానికి తరువాత ప్రకృతిని అర్థం చేసుకొని దాన్ని తన అవసరాలకు ఉపయోగించడానికి మానవుడు గణితశాస్త్రాన్ని అభివృద్ధిపరిచాడు. దీన్ని బట్టి మనకు గణితం మానవ కల్పితమని బోధపడుతుంది

ప్రాచీన నాగరికత - గణితం

→ గణితంలోని భావనలు ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడి ఉంటాయి
→ గణితశాస్త్రం క్రమపద్ధతిలో ఉండే అనేక భావనల కూర్పు
→ ఈజిప్టు, బాబిలోనియా, భారతదేశం లాంటి కొన్ని నాగరిక దేశాలు మాత్రమే గణిత శాస్త్ర మూల రూపాలు కలిగి ఉండేవి
→ గణితశాస్త్ర చరిత్ర నిజానికి వేదకాలం నాటి చరిత్రతో ప్రారంభమైంది
→ వేదాల్లోని శ్లోకాలలో వర్ణించిన జీవన పరిస్థితులు, భూగోళ విషయాలపై గల వివరాల ఆధారంగా వేదకాలం క్రీ.పూ. 6,000 నుంచి క్రీ.పూ. 3,000 వరకు అని నిర్ణయించారు. కానీ పాశ్చాత్య చరిత్రకారులు ప్రముఖంగా వారికి తెలిసిన బాబిలోనియా ఈజిప్టు గణిత చరిత్రనే రాసి ప్రచారం చేశారు

అరబ్బులు - గణితశాస్త్రం

→ అరబ్బులు అరిస్టాటిల్, యూక్లిడ్, అపలోనియస్, ఆర్కిమెడిస్, టాల్మీల రచనలను అరబ్బు భాషలోకి అనువదించారు
→ టాలమీ గ్రంథ రాజం అయిన గణితశాస్త్ర సమాహారం (Mathematical - collectians) ను ఆల్మగెస్ట్ (Almagest) అని పిలిచేవారు
→ అరబ్బులు గ్రీకుల నుంచి ఎక్కువ విషయాలు సేకరించారు. అలాగే భారతీయుల నుంచి కూడా కొన్ని ఉపయోగపకరమైన భావనలను గ్రహించారు.
→ అరబ్బులు 1 నుంచి 9 వరకు ఉన్న ప్రత్యేక సంజ్ఞానాత్మక అంకెలు, నున్న (0) కలిగి 10 అధారంగా గల భారతీయ సంఖ్యా విధానం వారి దేశంలో ప్రవేశపెట్టారు
→ అరబ్బు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు "ఆల్ క్వారిజ్మి " (Al-khowarizmi) రచించిన బీజగణితం రెండు ముఖ్య నియమాల మీద ఆధారపడింది
→ రెస్టోరేషన్ (Restoration) అంటే ఒక సమీకరణంలోని రుణపదాలను సమీకరణంలో రెండవ వైపుకు తీసుకువెళ్లడం
→ రిడక్షన్ (Reduction) అంటే సజాతి పదాల కూడిక. ఇతడు సామాన్య వర్గ సమీకరణాలను సాధించే వద్దతులు వివరించాడు → టబి ఇబిన్ కొర్ర, (Tabi ibon korra) (క్రీ. శ. 836-901) అనే గణిత శాస్త్రజుడు అమికబుల్ నంబర్స్ AMICABLE NUMBERS) అనే అంశం మీద ఒక గ్రంథాన్ని రాసాడు. వీరు కోణాన్ని త్రిథాకరించారు. మాత్రిక చతురస్రాలను గురించి చర్చించిన తొలి చైనీయేతరుడు ఇతడే
→ 9వ శతాబ్దపు ఖగోళశాస్త్రజ్ఞుల్లో ప్రముఖుడు ఆల్-బట్టాని (Al-Battani). ఇతడు కో-టాంజంట్ పట్టికలు తయారుచేసాడు →11వ శతాబ్దపు మొదట్లో బాగ్దాద్ లో నివసించిన ఆల్ భార్కీ సంఖ్యా సిద్ధాంతం, బీజగణితంలో చెప్పుకోదగిన పరిశోధనలు చేశారు
→ పశ్చిమ అరబ్బుల దేశానికి చెందిన జబీర్ ఇవిన్ ఆప్లా (Jabir Ibi Aflah) ఖగోళతశాస్త్రం మీద 9 వుస్తకాలు రాసారు
→ అరబ్బులు త్రికోణమితి శాస్త్రాన్ని పటిష్ట పరిచారు





ఈజిప్ట్ దేశస్థులు:

→ ఈజిప్షియన్ల నాగరికత క్రీ.పూ. 4000 సంవత్సరాల నాటిది ప్రపంచంలోని 7 అద్భుతాల్లో ఒకటైన పిరమిడ్లు అతి ప్రాచీన కాలంలోనే ఈ దేశంలో నిర్మించబడ్డాయి. ఇవి వారి రేఖాగణిత జ్ఞానానికి నిదర్శనం, → క్రీ.పూ. 1700 సంవత్సరంలో అహిమ్స్ (AHEMS) అనే అతడు ఈజిప్షియన్ పాపిరస్ అనే అతి ప్రాచీన గణిత కరదీపికను రచించాడు
→ దీనిలో సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం, లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం, భిన్నాలు, అంకగణితం, ఫ్రాథమిక బీజగజితానికి చెందిన విషయాలు ఉన్నాయి
→ ఈజిప్షియన్లు స్వీకృతాల మీద ఆధారపడిన జ్యామితిని రూపొందించలేకపోయారు.
→ ఈజిప్షియన్ సంఖ్యా విధానంలో 1 ని ఒక నిలువు కర్ర లేదా కొయ్య గుర్తుతో, 10,000ని చూపుడు వేలు గుర్తుతో 1,00,000ని బర్ బట్ (burbot) గుర్తుతో, 10,00,0000 ఆశ్చర్యపడుతున్న మనిషి గుర్తుతో నూచించారు.
→ ఈజిప్షియన్లు దశాంశ పద్ధతిని ఉపయోగించారు.
→ ఈజిప్షియన్లకు ఒక సూక్ష్మమైన సమగ్రమైన సంజ్ఞా విధానం లేదు.
→ అహిమ్స్ రచనలను బట్టి వీరు భిన్నాలు రాయడంలో లవాన్ని స్థిరంగా ఉంచి హారాన్ని మార్చేవారని తెలుస్తుంది.
→ భిన్నాలలో లవం (1) దీన్ని ఒక చుక్క (.)తో నూచించేవారు. ఏకాంక భిన్నాలు రాయడానికి వీలులేని భిన్నాలని రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ ఏకాంక భిన్నాలుగా రాసేవారు.
→ భిన్నాలను ఏకాంక భిన్నాలుగా రాయడానికి తోడ్పడే పట్టికలు తయారు చేశారు.
→ ఏకాంక భిన్నంగా రాయడానికి వీలులేని భిన్నాన్ని రెండు లేదా మూడు అంతకంటే ఎక్కువ ఏకాంక భిన్నాలుగా రాసేవారు. → ఈజిప్షియన్లకు క్షేత్రగణిత జ్ఞానం ఉంది, ప్రతి సంవత్సరం నైలునది వరదల వల్ల తుడుచుకుపోయిన భూభాగాల సరిహద్దులను తిరిగి నిర్ణయించి దాని ప్రకారం వారికి శిస్తు వసూలు చేయడానికి వారికి క్షేత్రగణిత అవసరం ఏర్పడిందని ప్రసిద్ధ గ్రీకు చారిత్రకుడు హిరోడటస్ (HERODOTUS) అభిప్రాయం
→ వాస్తవానికి క్షేత్ర గణితానికి సంబంధించి ఈజిప్షియన్లు గ్రహించిన కొన్ని వాస్తవాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి

1. లంబసమద్విబాహు త్రిభుజాకారం వైశాల్యం దాని భూమి, లంబభుజాల లబ్దంలో సగం.
2. సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం సమాంతర భుజాల మొత్తంలో సగాన్ని సమాంతర మధ్య దూరంతో గుణించాలి.
3. వృత్త వ్యాసంలో 1/9 వంతు తగ్గించి మిగిలిన దాన్ని వర్గం చేస్తే వృత్త వైశాల్యం లభిస్తుంది. ఈ విధంగా గణన చేసేటప్పుడు π = (16/9)² =3.1604.....గా తీసుకోవడం జరిగింది.
4. దత్త సరళరేఖ మీద 3:4: 5 నిష్పత్తిలో మూడు భాగాలుగా విభజించిన వాటిని మూడు కొయ్యమేకుల చుట్టూ తిప్పి లంబకోణాన్ని నిర్మించే పద్ధతి వారికి తెలుసు.
5. a,b,c,d లు అసమాన భుజాలు కలిగిన చతుర్భుజ వైశాల్యం a+b/ 2 , c+d/2 అనే సూత్రం ద్వారా కనుక్కోవచ్చు.
→ ఈజిప్షియన్లకు ఒకే అజ్ఞాతరాశిగల సామాన్య సమీకరణానికి చెందిన జ్ఞానం ఉంది. అజ్ఞాత రాశిని వారు "హౌ" (HOU) లేదా "హీప్" (Heap) అని పిలిచేవారు




గ్రీకులు:-

→ క్రీ.పూ. 7వ శతాబ్దంలో గ్రీకు, ఈజిప్టు దేశాల మధ్య వర్తక వ్యాపారాలు జరుగుతుండేవి
→ థేల్స్ (Thales), పైథాగరస్ (Pythagoras), ప్లేటో (Plato), యూడోకస్ (Edocus) మొదలైనారు. ఈజిప్టులోని పిరమిడ్లను సందర్శించారు.
→ఈజిప్షియన్ల భావనలు గ్రీకులను ప్రేరేపించాయి
→ ఈజిప్షియన్లు అనుభవంతో, యత్న - దోష పద్ధతిలో తమకు కావలసిన జ్ఞానాన్ని పొందడానికి ప్రయత్నిస్తే గ్రీకులు అనుభవైక విధానాన్ని వదిలేసి ,ఒక విషయంపై విధానాత్మకమైన - హేతుబద్ధమైన ప్రయత్నం చేశారు
→ గ్రీకులు హేతువాద శక్తి గొప్పదని నమ్మారు
→హేతువాదం మానవుని విశ్లేషణ శక్తిగా గ్రీకులు భావించారు.
→ గ్రీకులు గణితశాస్త్రానికి హేతువాదాన్ని అన్వయింపచేశారు.

గణితశాస్త్ర అభివృద్ధిలో గ్రీకుల కృషి

అయోనిక్ పాఠశాల :-

→ క్రీ.పూ. 640 - 546 సంవత్సర కాలంలో "థేల్స్" అనే శాస్త్రవేత్త అయోనిక్, పాఠశాలను స్థాపించారు.
→ వీరు గ్రీకు దేశంలో రేఖాగణిత అధ్యయనాన్ని ప్రవేశపెట్టారు
→ వీరు జ్యామితికి సంబంధించి ఆరు సిద్దాంతాలను కనిపెట్టారు.
అవి :
→రెండు సరళ రేఖలు ఖండించుకొంటే ఏర్పడే శీర్షాభి ముఖం కోణాలు సమానం.
→ సమద్విబాహు త్రిభుజంలో భూమియొక్క కోణాలు సమానం.
→ ప్రతి వృత్తాన్ని దాని వ్యాసం సమద్విఖండనం చేస్తుంది.
→ అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణం
→ ఒక త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం 2 లంబకోణాలు.
→ రెండు త్రిభుజాల్లో ఒకదాని రెండుకోణాలు ఒకభుజం మరొక దాని రెండు కోణాలకు సదృశ భుజానికి సమానమైతే ఆ త్రిభుజాలు సర్వ సమానాలు,

పైథాగరియస్ పాఠశాల :-
→ పైథాగరస్ క్రీ.పూ. (580 - 500) శామోస్ కు చెందినవారు వీరు ధేల్స్ ప్రేరణతో ఈజిప్టులో గణిత అధ్యయనం చేశారు.
→ పైథాగరస్ 'వైశాల్యం' అనే అంశం మీద ఎక్కువ కృషి చేశారు. అందువల్ల "ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణంపై చతురస్ర మిగిలిన రెండు భుజాలపై చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం" అనే సిద్ధాంతం అతని పేరుమీద ప్రసిద్ధి చెందింది
→ ఒక దత్త ఐహుభుజితో సమానవైశాల్యం కలిగి మరొక దత్త బహుభుజీతో సరూపంగా ఉండే ఐహుభుజిని నిర్మించడం పైథాగరియునకు తెలుసు.
→ ఒక చతురస్రంలో కర్ణం దానికి రెట్టింపు వైశాల్యం కలిగి ఉంటే చతురస్ర భుజానికి సమానమని వీరు రుజువు చేశారు
→ జ్యామితి పటాలను వివరించడానికి అక్షరాలను వీరు మొదటగా ఉపయోగించారు.




సోఫిస్ట్ పాఠశాల :-

→క్రీ.పూ. 480 సంవత్సరంలో గ్రీకులు వారి రాజ్యంలో ప్రజాస్వామ్యాన్ని ప్రవేశపెట్టారు

→ సిసిలీ నుంచి వచ్చిన ఉపాధ్యాయులను సోఫిస్టులు (SOPHISTS) అని పిలిచేవారు

→ వీరు ఈ క్రింది సమస్యలను సాధించడానికి ప్రయత్నించారు
i) చాపరేఖను లేదా కోణాన్ని త్రిథాకరించడం.
ii) ఒక ఘనాన్ని రెట్టింపు చేయడం అంటే ఒక దత్త సమఘనానికి రెట్టింపు నమఘనాన్ని కనుక్కోవటం.
iii) ఒక వృత్తాన్ని వర్గీకరించడమంటే ఒక దత్త వృత్తంలో సమాన వైశాల్యమున్న ఒక చతురస్రాన్నిగాని, ఇతర సరళరేఖీయ పటాన్ని గాని (Rectilinear figure) కనుక్కోవడం.
→ సోఫిస్టుల్లో ఒకడైన హిపోక్రటిస్ (Hippocrates) ఈ క్రింది వాటిని రుజువు చేశాడు
i) రెండు వృత్తాలు వాటి వ్యాసాల వర్గాల నిష్పత్తిలో ఉంటాయి
ii) ఒక వృత్తంలోని సరూప వృత్త ఖండాలు వాటి " జ్యూ ల వర్గాల నిష్పత్తిలో ఉంటాయి. సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి.
ii) అర్ధవృత్తం కంటే చిన్న వృత్త ఖండంలోని కోణం గురుకోణం

ప్లేటో పాఠశాల :-
→ సోక్రటీస్ (Socrates) ముఖ్య స్నేహితుడు, శిష్యుడు అయిన ప్లేటో (క్రీ. పూ. 429-348) ఏథెన్స్ లో జన్మించాడు
→ క్రీ.పూ. 389లో తన పాఠశాలను ప్రారంభించి తన జీవితాన్ని బోధనకు అంకితం చేశాడు
→ ప్లేటో సాధించిన గొప్ప వాటిలో ఒకటి ఉపపత్తికి విశ్లేషణ ఒక పద్దతిగా కనుక్కోవడం.
→ గణిత శాస్త్రజ్ఞులను తయారు చేస్తాడని పేరు పొందాడు.
→ అరిస్టాటిల్ Aristotle) క్రీ.పూ. (384-322) నిగమన తర్కాన్ని (Deducting logic) క్రమబద్ధం చేశాడు

ప్రథమ అలెగ్జాండ్రియన్ పాఠశాల :

→ అలెగ్జాండ్రియా అనేది అలెగ్జాండర్ ఏర్పరచిన గ్రీకు ప్రపంచ కేంద్రం, టాల్మీ (Ptolemy) క్రీ.పూ 338లో అలెగ్జాండ్రియాలో ఒక విశ్వవిద్యాలయాన్ని స్థాపించాడు.
→ ఈ కాలానికి చెందిన ప్రముఖ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు యూక్లిడ్, ఆర్కిమెడిస్, అపలోనియన్, హెరాన్, హిప్పార్కస్ (Hipparchus) మొదలైనవారు
→ యూక్లిడ్ క్రీ.పూ. 365లో జన్మించారు. క్రీ.పూ. 330-320ల మధ్యకాలంలో ఇతడు తన ఎలిమెంట్స్ (Elements) అనే గ్రంథాన్ని రచించారు.
→ యూక్లిడ్ రచించిన మరొక గొప్ప గ్రంథం "డాటా" (Data)
→ ఆర్కిమెడిస్ (క్రీ.పూ. 287-212) శుద్ధ జ్యామితీయ పరిశోధనలు సాగించిన ప్రముఖుల్లో ఒకరు.
→ వీరు సెంటర్ ఆఫ్ ప్లేన్ గ్రావిటీస్ (Centre of Plane Gravities), క్వా డ్రేచర్ ఆఫ్ పెరాబోలా (Quadrature of Parabola), ది మెథడ్ (The Method). మెజర్మెంట్ ఆఫ్ ఎ సర్కిల్ (The Measurement of a Circle) మొదలైన పుస్తకాలు రచించారు. ఆర్కిమెడిస్ ని న్యూటన్ ఆఫ్ ఆంటీక్విటీగా భావించారు
→ ఆపలోనియస్ (Apollonius), శాంఖన పరిచ్చేదం (Conic section పై 8 పుస్తకాలు రచించాడు. →హెరాన్ క్రీ.పూ 100 సం॥లలో ప్రసిద్ధికెక్కాడు. అతడే ఒక త్రిభుజ వైశాల్యానికి దాని భుజాల మీద ఆధారపడిన నూత్రాన్ని కనుక్కొన్నాడు
→ హిప్పార్మన్ క్రీ.పూ. (161-127) ఒక గొప్ప ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు. త్రికోణమితిని సృష్టించినట్లు తెలుస్తుంది.





రెండవ అలెగ్జాండ్రియన్ పాఠశాల :-
→ క్లాడియన్ టాల్మియస్ ఈజిప్టుకు చెందిన ప్రసిద్ధ ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు.
→ క్లాడియస్ ఆల్మగెస్ట్, జాగ్రఫికా అనే రెండు ప్రసిద్ధ గ్రంథాలను రచించాడు. ఈ ఆల్మగెస్ట్ 13 పుస్తకాలుగా ఉంది
→ డయోఫాంటిన్ బీజగణితానికి చెందిన అరిథ్మెటికా (Arithmetica) అనే గ్రంథాన్ని 13 భాగాలుగా రచించాడు. బీజగణిత సమీకరణాల్లో సంజ్ఞలు ఉపయోగించాడు

గ్రీకులు-అంకగణితం :-

→ గ్రీకులు వారి సంఖ్యా విధానానికి "అరిథ్మెటికా" అని, గణన విధానానికి "లాజిస్టికా" అని పేరు పెట్టారు
→ గ్రీకులు సామాన్యంగా సంకలన, వ్యవకలన, గుణకారాలకు అబాకస్ను ఉపయోగించేవారు. వారు గణనకు అక్షర సంఖ్యలను అరుదుగా ఉపయోగించేవారు
→ ఆర్కిమెడిస్ రచించిన పుస్తకం "మెన్సురేషన్ అఫ్ ది సర్కిల్" (Mensuration of the Circic) లో చాలా వర్గమూలాలు ఇచ్చారు
ఉదా: √3 < 1351 / 783 , √3 > 265 / 153 అని ఇచ్చారు.
→ పైథాగరియన్లు సంఖ్యలను నరి, బేసి సంఖ్యలుగా వర్గీకరించారు. ఇరాటాస్టెనీస్ (క్రీ.పూ. 275-174) సంయుక్త సంఖ్యలను వేరుచేయడం ద్వారా ప్రధాన సంఖ్యలను కనుక్కొనే పద్ధతిని కనిపెట్టాడు.
→ హిప్పీక్లీస్ (క్రీ.పూ. 200-100) జపాభుజి సంఖ్యలు అంకగణిత శ్రేణులు అనే దానిపై కృషి చేశాడు
→ రైసింగ్ ఆఫ్ ది స్టార్స్" అనే దానిపై రాసిన హిప్పీక్లీన్ పుస్తకంలో ఈ క్రింది ఫలితాలు ఇచ్చారు.
→ 2n పదాలున్న అంకశ్రేణిలో చివరి n పదాల మొత్తం మొదట n పదాల మొత్తం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది
→ 2n+1 పదాలు గల అంకగణిత శ్రేణిలోని పదాల మొత్తం ఆ శ్రేణి మధ్య పదాన్ని శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యతో గుణిస్తే లభిస్తుంది
→ క్రీ.శ 100 సం||లో నికోమాకస్ (NichomacuLS) అంకగణితం మీద (Introductio Arithmetica) ఇంట్రడక్టియో ఆరిథ్మెటికా అనే పుస్తకాన్ని రాసారు. వీరు నిగమన పద్ధతికి బదులు ఆగమన పద్దతిని ఉపయోగించారు




భారతీయులు :-
→ భారతీయులు సంఖ్యలను గురించి కృషి చేస్తే, గ్రీకులు రూపంపై కృషి చేశారు.
→ ప్రాచీన భారత గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో ఆర్యభట్ట, బ్రహ్మగుప్త, మహావీర, భాస్కర, వరాహమిహిర, శ్రీధర, పద్మవాభ మొదలైనవారు ముఖ్యులు.
→ భారత గణితశాస్త్ర చరిత్రను రెండు భాగాలుగా విభజించవచ్చు.
→ క్రీ.శ. 200 సం||లకు పూర్వభాగమైన శుల్బ సూత్రాల (Sulba sutra period) కాలం
→ క్రీ. శ 400 నుంచి క్రీ.శ. 1200 వరకు గల' ఖగోళ గణితశాస్త్ర కాలం
→ సుల్వ సూత్రం అంటే దారపు నియమాలు, ఇవి క్రీ.పూ. 800 నుంచి క్రీ.శ. 200ల మధ్య రాసినవి.
→ భారతీయులు జ్యామితిలో అంత నిపుణులు కారు: కాని "శుల్బ సూత్రాలను" బట్టి తెలిసింది ఏమిటంటే వీరు క్రీ.పూ. 800 ప్రాంతంలో జ్యామితిని బలిపీఠాల నిర్మాణానికి ఉపయోగించారు.
→ శుల్బ సూత్రాల ఆధారంతో కింది నిర్మాణాలు చేయడం వీరికి తెలుసు.
1) చతురస్ర, దీర్ఘచతురస్ర నిర్మాణాలు
2) భుజాలు, కర్ణాలకు గల సంబంధం
3) సమాన చతురస్రాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు
4) సమాన వృత్తాలు, చతురస్రాలకు చెందిన నియమాలు ఉన్నాయి
→3² + 4² = 5² , 12² + 16² = 20², 15² + 36² = 39² అనే సంబంధాలను బట్టి వీరికి పైధాగరియన్ సిద్దాంతాన్ని గురించి తెలుసని భావించబడుతుంది.
→మన దశాంశ పద్ధతి మొదట అరబ్బులకు చెందినదని నమ్మినప్పటికి చివరకు ఇది భారతీయులదిగా గుర్తించడం జరిగింది
→ భారతదేశంలో మొట్టమొదటిసారిగా క్రీ.శ. 876 లో సున్న వాడినట్లు తెలుస్తుంది.
→ రుణరాశుల ఉనికిని మొదట గుర్తించింది. భారతీయులే. వీరు ధన, రుణ రాశుల మధ్య తేడాను "కలిగి ఉండటం", అప్పులు అనే భావనలతో సూచించేవారు
→ భారతీయులు జ్యామితి కంటే త్రికోణమితి పట్ల ఎక్కువ అభిరుచిని చూపారు.
→ వరాహమిహిరుని (6వ శతాబ్దం) పంచసిద్ధాంతికలో త్రకోణమితిపై చర్చ జరిగింది
→ 1817లో లండన్ కి చెందిన హెచ్.టి.కోల్ బ్రూక్ అనే అతను బ్రహ్మ సిద్ధాంతం, శిరోమణి గ్రంథాలను ఆంగ్లంలోనికి అనువదించాడు
→ 1907లో ఇండియన్ మేథమేటికల్ సొసైటీ స్థాపించడం జరిగింది
→ భారతీయులు ప్రపంచానికి అందజేసిన దశాంశ విధానం, సున్న లేనట్లయితే శాస్రాభివృద్ధి నేడు ఉన్న స్టాయికి చేరేది కాదు.





ఆర్యభట్ట (క్రీ.శ 475-550):-

→ ఆర్యభట్ట భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో అతి ప్రసిద్ధుడు. ఇతడు క్రీ.శ. 476లో పాటలీపుత్రంలో జన్మించాడు
→ ఆర్యభట్టీయం గ్రంథ రచనతో ఇతడు ప్రసిద్ధికెక్కాడు. ఆ గ్రంథంలో 3 భాగాలు ఖగోళశాస్త్రం గురించి నాలుగో భాగంలో అంకగణితం, సమతల జ్యామితికి చెందిన 32 నియమాలు ఉన్నాయి
→ ఇతడు త్రిభుజ వైశాల్యానికి ఒక సూత్రాన్ని ఇచ్చాడు. కాని అది సమద్విబాహు త్రిభుజానికి వర్తిస్తుంది.
→ π కి సరైన విలువ 3 177/125 = 3.1416 గా ఇచ్చాడు
→ సింహళంలో ఉపయోగించిన సంజ్ఞా విధానానికి ఆర్యభట్ట తన పుస్తకంలోని మొదటి అధ్యాయంలో ఉపయోగించిన సంజ్ఞా విధానానికి పోలిక ఉంది
→ ఆర్యభట్ట భూమి గోళాకారంలో ఉందని, అది సూర్యుని చుట్టూ తిరుగుతుందని తెలిపాడు.
→ ఈయన "ఆర్యభట్టీయం" అనే గ్రంథం రాశాడు.
→ ఆర్యభట్టీయం, గీతికాపాదం, గణితపాదం, కాలక్రియాపాదం, గోళపాదం అనే నాలుగు పాదాల్లో వివరించబడింది
→ గీతికాపాదంలో సంఖ్యలను నిర్దేశించడానికి వర్ణమాలలోని ఒక్కొక్క అక్షరం ఒక్కొక్క సంఖ్యకు సంకేతంగా వినియోగించాడు
→ గణితపాదం 33 శ్లోకాలతో దశగుణిజాలైన సంఖ్యలు, వర్గం, వర్గమూలం, క్షేత్రగణితం, ఘనం, మనమూలం, వృత్తం, శంకువు, త్రిభుజం, త్రికోణమితులపై వివరణ ఇవ్వడం జరిగింది
→ ఆర్యభట్ట వృత్త పరిధి, వృత్త వ్యాసానికిగల స్థిర నిష్పత్తి 3. 1416 అని ఇది ఉజ్జాయింవు విలువ అని మొదటిసారిగా ప్రకటించాడు.
→ కాలపాదంలో 25 శ్లోకాలున్నాయి. ఇందులో కాలమానం, గ్రహగతులు గురించి వివరించడం జరిగింది.
→ 50 శ్లోకాలు ఉన్న గోళపాదంలో ఉత్తరాయణ, దక్షిణాయనాలు, నూర్యపరిశ్రమణ మార్గం, ఇతర గ్రహాలు సూర్యునికి ఎంత దూరంలో ఉన్నప్పుడు కనిపిస్తాయో, భూమి, గ్రహాలు ఎలా కాంతి విహీనం అవుతాయో మొదలైన అనేక విషయాలు తెలియజేయడం జరిగింది








భాస్కరాచార్య:-

→ ఇతడు క్రీ.శ. 12వ శతాబ్దానికి చెందినవాడు. ఇతడు మధ్యభారతదేశంలోని ఉజ్జయినికి చెందినవాడు
→ క్రీ. శ 1150లో ఇతడు "సిద్ధాంత శిరోమణి" అనే గ్రంథాన్ని రచించాడు. ఈ సిద్ధాంత శిరోమణిలోని రెండు ముఖ్య అధ్యాయాలు: 1) లీలావతి 2) బీజగణిత
→ "లీలావతి"లో పూర్ణ సంఖ్యలు, భిన్నాలు, వడ్డీ, శ్రేణులకు చెందిన అంకగణితం, క్షేత్రగణితం, నిష్పత్తి, ప్రస్తారాలకు (Permur tations) చెందిన విషయాలు బీజగణితంలో ధన, రుణ సంఖ్యల గురించి చర్చ జరిగింది
→ అజ్ఞాతరాశి ఇమిడి ఉన్న సమస్యలకు "లీలావతి" గ్రంథం ప్రసిద్ధి, అందులో దశాంశ పద్ధతిని "సున్న" ను స్వేచ్చగా ఉపయోగించడం జరిగింది .
→ ఇతడు బీజగణితంలో ఒక ధనరాశి వర్గం ధనరాశి, ఒక రుణరాశి వర్గంకూడా ధనరాశే కాబట్టి దానికి వర్గమూలం ధన రుణ, రాశుల్లో ఏదైనా కావచ్చని వివరించాడు.

శ్రీనివాస రామానుజన్ (1887-1920) :-

→ 20వ శతాబ్దపు గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో ప్రసిద్ధుడు శ్రీనివాస రామానుజన్
→ ఇతడు క్రీ.శ. 1887లో డిసెంబర్ 22న మద్రాస్ రాష్ట్రంలోని ఈరోడ్ అనే గ్రామంలో ఒక పేద వైష్ణవ కుటుంబంలో జన్మించాడు
→ ఇండియన్ మేథమేటికల్ సొసైటీ (Indian Mathematical Society) పత్రికలో ఇతనివి అనేకమైన వ్యాసాలు ప్రచురితమయ్యాయి.
→ ఇటువంటి వాటిలో బెర్నౌలీ సంఖ్యల లక్షణాలపైన రాసిన వ్యాసం చాలా పేరు పొందింది
→ శుద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో రామానుజన్ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి చెందాడు
→ ఇతడు గణిత పరిశోధనా విషయాలన్ని ముఖ్యంగా సంఖ్యావాదానికి చెందినవి.




శ్రీనివాస రామానుజం గణితశాస్త్రానికి చేసిన సేవలు:-
→ మ్యాజిక్ స్క్వేర్స్, కంటిన్యూడ్ ఫ్రాక్షన్స్, ప్రధాన సంఖ్యలు, ఎలిప్టిక్ ఇంటిగ్రల్స్ పై పరిశోధనలు చేశాడు.
→ రెండు కంటే పెద్దదైన ప్రతి సరి సంఖ్యను రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయగలం అనే గోల్డు బాక్ కంజక్చర్ యొక్క వివరణ రామానుజన్ కనుక్కొన్నది.
ఉదా : 4 = 2 + 2,
6=3+3,
8=5+3
→ "2"తో ప్రారంభించి వరస ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దాలు రామానుజన్ రాశాడు. ఈ లబ్దాలుకు 1/4 కూడగా మిశ్రమ భిన్నాల వర్గాలు ఏర్పడతాయి.
ఉదా :- 2 + 1/4 = ( 1 1/2 ) ²
→ రామానుజన్ చివరి దశలో మాక్ తీటా ఫంక్షన్స్ పై చేసిన పరిశోధన ప్రసిద్ధమైంది.
→ సంఖ్యలపై అతనికి సంపూర్ణ అవగాహన ఉంది, ఆయన పేరు పైగల రామానుజన్ సంఖ్య 1729 ఇందుకు ఒక ఉదాహరణ.
1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³
→ సమున్నత సంయుక్త సంఖ్యలు అనే భావనను రామానుజన్ ప్రవేశపెట్టాడు. ఏ సంఖ్యకు అంతకు ముందున్న సంఖ్యలకున్న కారణాంకాల కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉంటాయో వాటిని సమున్నత సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.
→ ఫెలో అఫ్ ది రాయల్ సొసైటీ, ఫెలో ఆఫ్ ట్రినిటీ కాలేజి గౌరవం పొందిన మొదటి భారతీయుడు రామానుజన్

యూక్లిడ్ (క్రీ.పూ.325-265):-
→ యూక్లిడ్ గ్రీకు దేశానికి చెందినవాడు. క్రీ.పూ. 325లో జన్మించాడు. ఏథెన్సులోని ప్లాటో అకాడమిలో ఇతని ప్రాథమిక విద్యాభ్యాసం జరిగింది
→ ఖగోళ శాస్త్రజ్ుడైన టాల్మీ క్రీ.పూ. 338లో అలెగ్జాండ్రియాలో ఒక విశ్వవిద్యాలయాన్ని స్థాపించాడు



గణితానికి యూక్లిడ్ చేసిన సేవలు :-

→ యూక్లిడ్ తనకు ముందువారయిన థేల్స్ , పైథాగరస్, ప్లాటో మొదలైన ఈజిప్టు, గ్రీకు గణిత మేధావులు కనుక్కొన్న గణిత విషయాలను క్రమబద్ధీకరించి "ఎలిమెంట్స్" అనే గొప్ప గ్రంథాన్ని రాశాడు.
→ యూక్లిడ్ "ఎలిమెంట్స్" గ్రంథాన్నే గాక “డాటా" అనే గ్రంథాన్ని కూడా రచించాడు. ఇది విశ్లేషణకు సంబంధించిన పద్ధతులను వివరిస్తుంది
→ యూక్లిడ్ రాసిన "ఎలిమెంట్స్" గ్రంథంలో, 13 భాగాలున్నాయి. అందులో → మొదటి భాగంలో నిర్వచనాలు, స్వీకృతాలు మొదలైన జ్యామితికి సంబంధించిన ప్రాథమిక విషయాలు, త్రిభుజాలు, వాటి సర్వసమానత్వాలు, సమాంతర చతుర్భుజాలకు సంబంధించిన విషయాలున్నాయి. → రెండో భాగంలో వైశాల్యాలు, బీజగణిత సంబంధమైన విషయాలు, ఉన్నాయి
→ మూడో భాగంలో వృత్తాలు, చాపాలు, జ్యాలు, అంతర్లిభిత కోణాలకు సంబంధించిన విషయాలు
→ నాలుగో భాగంలో అంతర్లిఖిత, పరిలిఖిత క్రమ బహుభుజులను గురించిన విషయాలు.
→ పదో భాగంలో కరణీయ సంఖ్యలకు చెందిన విషయాలు
→ ఐదో భాగంలో అనుపాతానికి చెందిన అంశాలు
→ ఆరోభాగంలో సరూప త్రిభుజాలకు చెందిన ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు, తృతీయ, చతుర్ధ, మధ్యమ అనుపాతాల నిర్మాణాలు మొ॥వి.
→ ఏడు, ఎనిమిది, తొమ్మిది భాగాల్లో ప్రాచీన సంఖ్యా సిద్ధాంతాలు, జ్యామితీయ భావనలతో కూడిన అంకగణిత వివరాలు
→ చివరి మూడు, భాగాల్లో త్రిపరిమాణ జ్యామితికి చెందిన విషయాలు ఉన్నాయి.
→ యూక్లిడ్ ఫాదర్ ఆఫ్ జామెట్రీగా గౌరవం పొందాడు.





పైథాగరస్ (PYTHACORAS) :-

→ పైథాగరస్ (క్రీ.పూ.580-500) గ్రీస్ లోని శామోస్, (Samos) కి చెందినవాడు.

→ దక్షిణ ఇటలీలోని క్రాటన్లో పైథాగరియన్ పాఠశాలను స్థాపించాడు.




పైథాగరస్ గణితానికి చేసిన సేవలు :-

→ పైథాగరస్ వైశాల్యం అనే అంశం మీద ఎక్కువ కృషి చేశాడు. ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణంపై చతురస్రం మిగిలిన రెండు భుజాలపై చతురస్రాల మొత్తానికి సమానమనే సిద్ధాంతం అతని పేరిట ప్రసిద్ధి చెందింది
→ ఘనాల్లో గోళం, సమతల ఆకారాల్లో వృత్తం చాలా అందమైనవని అతని భావన
→ ఒక దత్త బహుభుజితో (Polygon) సమాన వైశాల్యం కలిగి మరొక దత్త బహుభుజితో సరూపంగా ఉండే బహుభుజిని నిర్మించడం
→ ఒక చతురస్రంలోని కర్ణం దానికి రెట్టింపు వైశాల్యం కలిగి ఉండే చతురస్ర భుజానికి సమానం
→ జ్యామితి పటాలు వివరించడానికి మొదటగా వీరు అక్షరాలను వివరించారు
→ పైథాగరస్ సిద్ధాంతంపై ఫిలోలాస్ ఒక పుస్తకం రాసారు.
→ పైథాగరియన్లు సంఖ్యలను సరి, బేసి సంఖ్యలుగా వర్గీకరించారు
→ 1 నుంచి 2n + 1 వరకు గల బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎప్పుడు ఒక ఖచ్చితమైన పర్గం అవుతుంది.
ఉదా: 1 = 1² , 1+3=2² , 1+3+5=3² .....
→ సరిసంఖ్యల సంకలనం ద్వారా 2, 6, 12, 20. .......అనే శ్రేణి లభిస్తుంది. ఈ శ్రేణిలోని ప్రతి నంఖ్యను 1 తేడాగా గల రేండు కారణాంకాల లబ్దంగా రాయవచ్చు.
ఉదా:- 6 = 2*3; 12=3*4; 20 = 4*5...
→ n(n+1)/2 రూపంలో ఉండే సంఖ్యలను త్రిభుజాకారపు సంఖ్యలు అంటారు.
→ త్రిభుజాకార సంఖ్యలలో ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకాల మొత్తం ఆ సంఖ్యకు సమానమైతే అలాంటి సంఖ్యలను పరిపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు.
eg : 6, 28, 496..
→ అనుపాతం సంబంధ ధర్మాలు తెలుసు.




నిత్యజీవితంలో గణిత ఉపయోగం దృష్టా పాఠశాల విద్యాప్రణాళికలో దాని స్థానం:-
→ ప్రస్తుతం విద్యాప్రణాళికలో 8వ తరగతి వరకు విద్యార్థి తన జీవితంలో ఎదుర్కొనే సమస్యలను సాధించడానికి అవసరమయ్యే గణితాంశాలను ఇవ్వడం జరిగింది
→ 9, 10వ తరగతిలో జీవిత సమస్యలే కాకుండా విద్యార్థి ఉన్నత చదువులు చదవడానికి అవసరమైన ఇతర గణితాంశాలను కూడా విద్యా ప్రణాళికలో చేర్చడం జరిగింది



ఇతర పాఠ్య విషయాలతో గణిత సంబంధం:-
→ సామాన్య విజ్ఞాన శాస్త్రమంతా గణిత పూరితమే- కాంట్ (Kant)
→ భౌతిక పరిశోధన నుంచి విడగొట్టలేని పరికరం గణితం - బెర్త్
→ సహసంబంధం : విద్యా ప్రణాళికలోని పాఠ్య విషయాలను ఒక దానితో ఒకటి సంబంధపరచి బోధించడాన్ని నహనంబంధం లేదా పరస్పర సంబంధం అని అంటారు
→ గణితాన్ని గణితంలోని వివిధ శాఖలతో, ఇతర పాఠ్య విషయాలతో సహసంబంధ పరిచి బోధించడాన్ని పరిశీలిస్తే గణితానికి చెందిన సహసంబంధం ప్రధానంగా రెండు రకాలు అని తెలుసుకోవచ్చు. అవి.
1) గణితానికి చెందిన వివిధ శాఖలతో గల అంతర్గత సహసంబంధం
2) ఇతర విషయాలతో గణితానికి గల బాహ్య సహసంబంధం

అంతర్గత సహసంబంధం :
→ గణితంలోని వివిధ శాఖలైన అంకగణితం, బీజగణితం, రేఖా గణితం, త్రికోణమితి మొదలైన అంశాలు ఒక దానితో ఒకటి ముడిపడి ఉన్నాయి.
→ ఉదా: అంకగణితంలోని లాభనష్టాలు, భాగస్వామ్యం, వడ్డీ మొదలైన అంశాలకు చెందిన కొన్ని సమస్యలను బీజగణిత సమీకరణాల ద్వారా సాధించగలం.

బాహ్య సహసంబంధం :-
→ బాహ్య నహసంబంధం అంటే గణితానికి ఇతర పాఠ్య విషయాలతోగల సహసంబంధం

→ భౌతిక రసాయన శాస్త్రాలు, జీవశాస్త్రం, సాంఘికశాస్త్రం భాషల అధ్యయనంలో గణితం ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది
i) గణితం - భాష :-
→ గణిత విషయాలను సృష్టమైన సరళమైన భాషలో అందించడం ద్వారా అది అందరికి అర్ధం చేసుకొనే అవకాశం ఉంది. పద్య పతనంలో, పద్య రచనలో వరసల సంఖ్య, అక్షరాల సంఖ్య, యతి, ప్రాసలు, గణ విభజన, గణితాధారాలే.

ii) గణితం సాంఘికశాస్త్రం : సాంఘిక శాస్త్రానికి సంబంధించిన అంశాలైన అక్షంశాలు, రేఖాంశాలు, భూమధ్యరేఖ భూభ్రమణం, పరి భ్రమనం మొదలయిన అంశాలన్నీ గణితాధారాలే

iii) గణితం - భౌతికశాస్త్రం :-
→ భౌతిక శాస్త్రానికి సంబంధించిన సూత్రాలన్నీ గణిత పద్ధతుల్లో రాబట్టబడినవే
ఉదా: V= u + at

iv) గణితం - రసాయనశాస్త్రం :-
→ రసాయన శాస్త్రానికి సంబంధించిన అన్ని సమీకరణాలు గణితాధారాలు, మూలకాలకు సంబంధించి పరమాణువుల సంఖ్య, పేరియాడిక్ టేబుల్, వాయుపీడనం మొదలయినవి గణితాధారాలు

v) గణితం - జీవశాస్త్రం :-
→ మానవ శరీరంలోని వివిధ అవయవాల సంఖ్య, కండరాల సంఖ్య, బరువు, ఎత్తులకు సంబంధాన్ని తెలిపే పట్టికలు, జ్వరం ఉష్ణోగ్రత, రక్తపీడనం మొదలయిన విషయాలన్నీ గణితంతో, ముడిపడి ఉన్నాయి

vi) గణితం - కళలు :-
→ సంగీతంలో స్వరాలు, తాళం, రాగాలు అన్నీ గణిత సూత్రాలపైనే ఆధారపడి ఉన్నాయి. చిత్రాలను గీయడానికి రేఖాగణిత పద్ధతులు, నమూనాలు వాడబడతాయి

vii) గణితం - వ్యాయామ విద్య :-
→ వివిధ ఆటలకు సంబంధించి ఆటల మైదానంలో కోర్టులు గీయడం, డ్రిల్లు చేస్తున్నప్పుడు వివిధ వరసల్లో వివిధ కోణాల్లో నిలబడటం అన్ని కూడా గణితాధారాలు